Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.
Рассмотрим случаи, когда значение выражения, содержащего иррациональности, в частности квадратные корни, примерно равно 1, а нам требуется точно знать, больше или меньше единицы это значение. Это просто, потому что единица для нас важное, почти волшебное число. Для этой цели достаточно вспомнить, что при возведении положительного числа в степень с натуральным показателем оно увеличивается, если больше единицы и уменьшается, если меньше.
Пример 1.
Сравнить с 1 значение \(\dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{3}}{3}.\)Решение.
Возведём выражение в квадрат \[\left( \frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{2 +2\sqrt{2\cdot3} +3}{9} = \frac{5 +2\sqrt{6}}{9}.\] Так как \(\sqrt{4}<\sqrt{6}<\sqrt{9},\) то \(2<\sqrt{6}<3\) и следовательно \[\frac{5+2\cdot2}{9}< \frac{5 +2\sqrt{6}}{9}<\frac{5+2\cdot3}{9}, \\1< \frac{5 +2\sqrt{6}}{9}<\frac{11}{9}.\] Так как квадрат числа больше единицы, мы можем утверждать, что и само число больше единицы.Ответ: \(\dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{3}}{3} > 1.\)
Пример 2.
Сравнить с 1 значение \(\dfrac{\sqrt{17} -\sqrt{11}}{\sqrt{2}}.\)Решение.
Возведём выражение в квадрат \[\left( \frac{\sqrt{17} -\sqrt{11}}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{17-2\sqrt{17\cdot11} +11}{2} =\frac{28-2\sqrt{187}}{2} = 14-\sqrt{187}.\]Так как \(\sqrt{169}<\sqrt{187}<\sqrt{196},\) то \(13<\sqrt{187}<14\) и следовательно \[ 14-14 < 14-\sqrt{187}< 14-13; \\ 0 < 14-\sqrt{187}< 1.\]Обратите внимание: чтобы получить верхнюю оценку, т.е. большее значение, нужно вычесть меньшее число, и наоборот.Так как квадрат числа меньше единицы, мы можем утверждать, что и само число меньше единицы.
Ответ: \(\dfrac{\sqrt{17} -\sqrt{11}}{\sqrt{2}} < 1.\)
Пример 3.
Сравнить с 1 значения \(\dfrac{\sqrt{11} -\sqrt{17}}{\sqrt{2}}\) и \(\left|\dfrac{\sqrt{11} -\sqrt{17}}{\sqrt{2}}\right|.\)Решение.
Для решения первой задачи никаких дополнительных действий предпринимать не надо, так как \(11<17\) и, соответственно, \(\sqrt{11} < \sqrt{17}\), то значение выражения отрицательно, а потому заведомо меньше единицы. Просто будьте внимательны с такими случаями.
Другое дело оценка модуля выражения. Так как \(|a-b| = |b-a|\) для любых действительных чисел \(a\;и\;b,\) то решение полностью повторяет пример 2.
