Площади плоских фигур

Повторяем формулы для вычисления площадей плоских фигур. Если вы планируете в этом году cдавать ОГЭ или ЕГЭ, то лучше повторять формулы одновременно с решением типовых задач по геометрии. Вычисление площади может быть составной частью любых задач из раздела планиметрия, а также элементом решения задач по стереометрии.

Внимание: Иллюстрации к применению формул, предназначеные для визуального восприятия и запоминания, циклически чередуются с помощью кнопок. Для загрузки следующего чертежа нужно щелкнуть клавишей мыши по иконке, расположенной справа от соответствующего правила, и продолжать щёлкать по этой же иконке пока не вернётся начальное состояние.

Площадь прямоугольника.

По определению: площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Соответственно, площадь квадрата со стороной, равной a единиц, равна а².
А площадь прямоугольника со сторонами a и b равна произведению сторон ab.
Площади, обычно, обозначают символом S.

И еще одно полезное правило для площади квадрата.

Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой \[S = \frac{d^2}{2}\]

Рассмотрим квадрат со сторойной \(a\)

Его площадь \(S_1 = a^2\)

Начертим его диагональ \(d\)

На диагонали построим квадрат со стороной \(d\)

Его площадь \(S_2 = d^2\)

Сравним эти два квадрата

Меньший (зелёный) квадрат состоит из 2-ух треугольников, а больший (розовый) из 4-ёх таких же треугольников. Следовательно его площадь в два раза больше.
То есть \(S_2 = 2S_1\) или \(S_1 = \dfrac{S_2}{2} = \dfrac{d^2}{2}\)

Итак, используем две формулы для площади квадрата:
- если известна длина стороны, то

площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\);

- если известна длина диагонали, то

площадь квадрата с диагональю \(d\) равна \(\dfrac{d^2}{2}\).

Чтобы загрузить обоснование этого правила,
щёлкайте по иконке.

PS: Конечно, можно выучить только одну формулу площади и, в случае, если известна диагональ квадрата, предварительно вычислять его сторону по теореме Пифагора. Но это для тех, кто щадит свою память, но не уважает своё время. Выбор за Вами.

Площадь треугольника.

Площадь прямоугольника вычислить просто, но далеко не всякую фигуру можно представить в виде совокупности прямоугольников, тем более, квадратов. Чаще фигуру можно разбить на конечное число треугольников. Такие фигуры называют простыми.
Например, выпуклый многоугольник ABCDE можно разбить на треугольники ABE, BEC, CED.

Складывая площади треугольников, можно определить площадь любого многоугольника.
Кроме того, с помощью формул для площади треугольника, можно решать многие геометрические задачи, причем, разными способами. Последнее связано с тем, что площадь треугольника может быть выражена через различные его элементы.
Поэтому, формул для вычисления площади треугольника несколько и они все очень важны для нас. А те, кто считает себя гуманитарием и с трудом заучивает формулы, могут просто запомнить текст правила.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Чтобы загружать рисунки, иллюстрирующие правило для конкретного типа треугольника, нужно щелкать мышью по соответствующей иконке.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженной на синус угла между ними.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов.

Чтобы загрузить иллюстрации этого правила для конкретного типа треугольника, нужно щелкнуть мышью по соответствующей иконке.

Площади четырёхугольников.

Кроме площадей прямоугольников, о которых речь шла выше, необходимо помнить формулы и/или правила для площадей трапеций, параллелограммов, ромбов.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Фактически это та же самая формула только в другой формулировке, так как средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Плюс все формулы для параллелограмма, потому что ромб есть частный случай параллелограмма.

Чтобы повторить приведенные формулы площадей четырёхугольников, посмотрите видео, иллюстрирующее все правила для этих четырёхугольников. Оно расположено ниже.

Переход на главную страницу сайта.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь - mathematichka@yandex.ru