Типичные ошибки при решении задач по теории вероятностей.
Типичные ошибки в задачах на классическое определение вероятности рассматривались раньше. Эта статья посвящена ошибкам, которые могут возникать при решении задач
на применение правил сложения и умножения вероятностей событий.
Вспомним эти правила для самых простых случаев комбинации двух событий с известными вероятностями.
Событие состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой или объединением этих событий и обозначается А+В или A∨B.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Эту теорему можно обобщить на случай произвольного числа попарно несовместимых событий.
Событие состоящее в наступлении обоих событий А и В называется произведением или совмещением событий А и В и обозначается А·В или A∧B.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: P(AB) = P(A)·P(B).
Эту теорему также можно обобщить на случай произвольного числа независимых событий.
Пример 1
Вероятность того, что чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что чайник прослужит больше 2 лет, равна 0,87. Найдите вероятность того,
что чайник прослужит больше года, но меньше 2 лет.
Этот пример взят из банка заданий ЕГЭ 2016 по математике профильного уровня. А решение, которое приводится ниже, с одного из сайтов в сети Интернет. (Сайт не называю, потому что право на ошибку имеют все, но решение прилагаю на снимке с экрана, чтобы не было сомнений в его реальности.)
Решение?
Как вы думаете, верное или неверное это решение? Почему? Постарайтесь ответить на этот вопрос самостоятельно раньше, чем откроете следующие комментарии.
Смотреть комментарии.
Ещё раз проанализируем приведенное решение.
Введём обозначения:
А - "Чайник прослужит больше года", p(А) = 0,93;
B - "Чайник прослужит больше 2 лет", p(B) = 0,87;
С - "Чайник прослужит больше года, но меньше 2 лет", p(С) = ?
Событие С можно сформулировать иначе: "Чайник прослужит больше года, но не прослужит больше 2-ух лет". Это верно.
Событие В_ - "не прослужит больше 2-ух лет" противоположно событию В, поэтому его вероятность p(В_) = 1 − p(B). Верно.
Далее автор решения явно или неяно в новой формулировке события С заменил союз "но" союзом "и" - "Чайник прослужит больше года И не прослужит больше 2-ух лет" - и пришел к выводу, что имеет дело с произведением событий А и В_. Приемлемо.
И, наконец, пользуясь теоремой умножения вероятностей, которую также называют И-правилом, автор перешёл от произведения событий к умножению их вероятностей и получил
p(C) = p(A)·(1 − p(B)) = 0,93·(1 − 0,87) = 0,93·0,13 = 0,1209. Однако ...
Событие "чайник прослужит больше 2 лет" содержит в себе событие "чайник прослужит больше года". Событие В не может произойти, если не произошло событие А.
Событие "не прослужит больше 2-ух лет" содержит в себе событие "не прослужит больше года". Событие A_ влечёт за собой событие В_.
Другими словами, чайник не может прослужить больше двух лет, если он сломался в течение первого года. Если чайник успешно проработал 3 года, то реализовались оба события A и B. Если чайник сломался через 6 месяцев после покупки, реализовались оба противоположных события A_ и В_.
Таким образом, все эти события зависимы! друг от друга и к ним НЕЛЬЗЯ применять теорему умножения вероятностей. Прочитайте её формулировку еще раз. Там чётко сказано "Вероятность произведения двух независимых событий ...".
Для определения вероятности произведения зависимых событий есть расширенный вариант этой теоремы, содержащий понятие условная вероятность, но в этой задаче нет таких данных. Она решается просто совсем другим способом.
Смотреть решение.
Решение. Один и тот же чайник не может сломаться одновременно и в первый, и во второй годы службы. Эти события не совместимы. Событие А - "Чайник прослужит больше года" - распадается на два случая: чайник сломается на втором году службы ИЛИ продолжит работать дальше, т.е. прослужит больше 2 лет. Следовательно, событие А является суммой двух несовместимых событий С и В, к которым применима теорема сложения вероятностей (ИЛИ-правило). A = C + B p(A) = p(C) + p(B). 0,93 = p(C) + 0,87. p(C) = 0,93 − 0,87 = 0,06.
Ответ: 0,06.
Проверка.
Для проверки (или в качестве второго способа решения) можно использовать следующий факт - "при большом числе наблюдений относительная частота исходов испытаний совпадает с вероятностью этих исходов."
Пусть было приобретено 1000 чайников.
Больше года прослужило 1000×0,93 = 930 чайников.
Больше 2-ух лет прослужило 1000×0,87 = 870 чайников.
За второй год наблюдений сломалось 60 чайников из приобретённой тысячи. р = 60/1000 = 0,06.
Пример 2
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус . Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров равна 0,82.
Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров равна 0,51. Найдите вероятность того что, число пассажиров будет от 10 до 17.
Этот пример также из банка заданий ЕГЭ 2016 по математике профильного уровня. Решение с того же сайта, но, судя по скриншоту, принадлежит другому автору.
Решение?
Верное или неверное решение? Почему? Если здесь есть ошибка и Вы сможете найти её самостоятельно, то получите дополнительную уверенность в своих знаниях. Не упустите случай порадоваться за себя. Не спешите открывать мои комментарии.
Смотреть комментарии.
Воспользуемся предложенными обозначениями событий и восстановим ход размышлений автора. Но сначала обратим внимание на знак
∨, использованный в приведенном выражении. Этим знаком в математической логике обозначают термин Дизъюнкция высказываний (A∨B истинно, когда хотя бы одно из условий A и B истинно), в теории множеств термин Объединение множеств (элемент a ∈ A∨B, если a принадлежит хотя бы одному из множеств A и B), в теории вероятностей сумму или объединение событий, т.е. событие состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и В. Но этот знак не ставится в обычном алгебраическом выражении между числами, а вероятности – это как раз числа в диапазоне от 0 до 1. Выражение (1-Р(Б))∨Р(В) заведомо неверно. Поэтому сначала попытаемся понять логику автора из числового выражения
P(A) = 1 − (1 − 0,82)*0,51.
Из него видно, что автор применил теорему умножения вероятностей к событиям В (число пассажиров будет меньше 10 с вероятностью 0, 51) и Б_ (число пассажиров будет больше либо равно 18 с вероятностью 1 − 0,82).
Но разве можно говорить о произведении этих событий, если они даже не совместимы. В каком автобусе одновременно может быть меньше 10 пассажиров И больше 18? Никакой логики!
Теперь допустим, что значком ∨ автор хотел обозначить именно объединение событий, но сделал это неаккуратно, а затем ещё поторопился с переходом к вероятностям. Тогда одинаково допустимы обозначения Б_∨В и Б_ + В. Мы будем пользоваться вторым из них.
Итак, по мнению автора решения, событие А (число пассажиров от 10 до 17) противоположно объединению (сумме) событий Б_ и B, т.е. тем случаям, когда пассажиров будет меньше 10 ИЛИ 18 и больше. Согласимся с такой формулировкой и перейдём к расчёту вероятностей.
P(A) = 1 − P(Б_ + B).
Поскольку в одном автобусе не может быть одновременно меньше 10 пассажиров и больше 18-ти, то эти события несовместимые, и при переходе к вероятностям мы можем использовать теорему сложения в самом простом виде.
P(A) = 1 − (P(Б_) + P(B)).
P(A) = 1 − (1 − P(Б) + P(B)) = 1 − (1 − 0,82 + 0,51) = 0,31.
Этот ответ уже больше похож на верный, но зачем так усложнять?
Смотреть решение.
Решение.
Примем те же обозначения событий. Событие "в автобусе окажется меньше 18 пассажиров" (событие Б) реализуется одним из двух вариантов ИЛИ их будет меньше 10 (событие В), ИЛИ от 10 до 17 (событие А). Причём эти случаи несовместимы. Поэтому применяем ИЛИ-правило (теорему сложения вероятностей) в самой простой форме. Б = В + А; Р(Б) = Р(В) + P(А); 0,82 = 0,51 + Р(А); P(A) = 0,82 − 0,51 = 0,31.
Ответ: 0,31.
Итак, в теоремах сложения и умножения вероятностей главное вовсе не математические формулы, которые легко запомнить и применять. Важнее анализ самих событий, их независимости и совместимости. Для правильного решения таких задач требуется не только знание математики, как её понимают школьники, но и зрелость мышления в целом.
Если Вы попали на эту страницу из поисковика, то рекомендую ознакомиться с
другими задачами на эту тему. И неважно предстоит ли Вам в этом году сдавать ЕГЭ по математике, или Вы уже студент, - это просто хорошие задачи на сложение и умножение вероятностей.