Типичные ошибки при решении задач
на классическое определение вероятности.

Эпиграф: Блондинку спросили: "Какова вероятность, выходя из дома, встретить динозавра?" "Пятьдесят на пятьдесят, - ответила блондинка, - либо встречу, либо нет".

Согласно классическому определению вероятностью события А называется дробь

P(A)  =m— ,n

Таким образом, получается что блондинка права? Два возможных исхода - встретить и не встретить динозавра, n = 2, и только один из них благоприятствующий встрече, m = 1. Соответственно, P(A) = 1/2 = 0,5.

Рассмотрим еще один пример. Теперь уже из моей практики. Отвечая на экзамене на вопрос "Какова вероятность выпадения трёх троек подряд при трёх бросаниях игральной кости?", одна из моих студенток, кстати тоже блондинка, составила следующую таблицу:

В этой таблице она поместила в каждой строке возможные результаты трех бросаний кости, и обозначила выпадение тройки словом "да", а невыпадение словом "нет". Соответственно, получила, что выпадение трех троек подряд возможно только в одном случае из 8-ми.
Её ответ: P = 1/8 = 0,125.

Понятно, что подкованные брюнеты сразу скажут, что для решения этой задачи следовало использовать теорему умножения вероятностей, а еще более "крутые" вспомнят о существовании распределения Бернулли. Но многие ли из них сумеют объяснить девушке, в чем именно она неправа? Успейте подумать о том, какие ошибки допущены выше, пока я излагаю правильное решение этой простой экзаменационной задачи.

Итак,
вероятность выпадения тройки при одном бросании игральной кости равна 1/6, так как всего могут выпасть шесть чисел и только одно из них - "3" - нас интересует. Результаты повторных бросаний независимы друг от друга, поэтому можем применить теорему умножения вероятностей (И-правило): (1/6)×(1/6)×(1/6) = 1/216 ≈ 0,0047.
Правильный ответ: P = 1/216 ≈ 0,0047.

Как видите разница почти в 30 раз. Ошибка блондинок, как реальной, так и персонажа анекдота, состоит в том, что в их ответах не учтено одно важное слово из определения вероятности, предшествовавшего использованной формуле, - элементарных (!) исходов. Т.е.

- равновозможных;
- попарно несовместимых;
- и образующих полную группу событый.

В случае с динозавром отсутствие равновозможности событий, ошибочно принимаемых за элементарные исходы, очевидно всем на интуитивном уровне. В случае с трехкратным бросанием кубика нужно быть более внимательными. В предложенном табличном варианте решения задачи строки не описывают равновозможные исходы. Например, предпоследняя строка может быть реализована только одним способом - "выпали три тройки подряд", а последняя строка реализуется выпадением любой комбинации трех чисел, не содержащих "тройки", например, "2 2 2", или "2 4 5", или "5 6 1", или "5 6 5" ... всего таких комбинаций 125.^*)

Правильно решить приведенную экзаменационную задачу таблицей тоже можно. Но тогда нужно добавить в неё еще один столбик, в который поместить число возможных комбинаций для каждого исхода, описанного в строке. Число комбинаций вычисляется на основе формул и правил комбинаторики.

Складывая данные последнего столбца, получим число всех возможных элементарных исходов n = 216. Благоприятствующее событие описывается строкой 7 таблицы, ему соответствует только один элементарный исход m = 1. По формуле получаем P = 1/216 ≈ 0,0047.

Всё просто, не так ли? Почему же тогда подобные ошибки встречаются часто и являются типовыми? Я думаю потому, что большинство обучающихся невнимательно относится к самой простой, на первый взгляд, начальной части курса теории вероятностей.

Все согласны с тем, что вероятность выпадения одного заданного числа при одном бросании игральной кости равна 1/6, что вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты равна 1/2, что вероятность вытащить туза, извлекая наугад одну карту из колоды в 36 карт, равна 4/36 = 1/9 и т.д. Но обратили ли вы внимание на то, что прежде чем назвать эти цифры, было очень многое оговорено или, по крайней мере, подразумевалось, что вы это знаете из своего жизненного опыта.

Например то, что:
в учебниках по теории вероятностей под игральной костью подразумевается однородный, недеформируемый кубик с числами, нанесенными на его гранях. Чаще в виде точек, но это несущественно. В результате бросания кубик падает на одну из шести граней, противоположной гранью вверх. Число на верхней грани и рассматривается как исход испытания. Считается, что кубик бросают на жесткую поверхность, поэтому он не может опуститься и сохранить равновесие на ребре и тем более на вершине.
Казалось бы, зачем зацикливаться на том, что и так очевидно. Однако:

1. Однородность кубика как раз и обеспечивает равновозможность упасть на любую грань.
2. Недеформируемость позволяет рассматривать все возможные исходы как попарно несовместимые - кубик не может лечь одновременно на две грани.
3. Он не может зависнуть в воздухе или сохранить равновесие на ребре - это условие определяет полноту группы из 6-ти событий.

Понятие равновозможности событий в жизни не настолько простое, как в учебнике. И монета может оказаться кривой, и кубик со смещенным центром тяжести, и колода краплёной. В общем случае, равновозможность является неопределяемым понятием и устанавливается путем анализа свойств изучаемого процесса или явления. Поэтому давайте сделаем вывод: не надо обижать блондинок. А для практических нужд вспомним, что в математике существует еще одно определение вероятности - статистическое.

Продолжение темы о логических ошибках при решении задач по теории вероятностей посвящено ошибкам, которые могут возникать при применении правил сложения и умножения вероятностей событий.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -   mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.