Тела и поверхности вращения

Как видно из рисунков выше, осевое сечение цилиндра с вписанным шаром представляет собой квадрат с вписанным кругом. Радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Тогда объем цилиндра V_ц = πr ²h = πR ²·2R = 2πR ³.

Отсюда находим R³ = V_ц___2π и, соответственно, V_ш = 4_ 3πR³ = 4π__3·V_ц__2π

После сокращения дроби, получим V_ш = 2V_ц /3 = 2·33/3 = 22.

Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле S_ц = 2πrh + 2πr².
Аналогично предыдущей задаче из рисунка для плоского сечения видно, что радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Поэтому S_ц = 2πR·2R + 2πR² = 6πR².
Величину πR² найдем из формулы поверхности шара S_ш = 4πR². Следовательно, πR² = S_ш /4 = 111/4.
Окончательно находим S_ц = 6·111/4 = 333/2 = 166,5.

Объём цилиндра определяется по формуле V = πr ²h.
По условию задачи h = 2r.
Чтобы найти радиус цилиндра, дополнили чертеж осевого сечения радиусом шара и расставили буквы для обозначения отрезков. Здесь O - центр шара, OB = R - радиус шара, AB = r - радиус цилиндра.
Точка O также является серединой высоты цилиндра, поэтому AO = h/2. В нашем случае h/2 = r, таким образом AO = AB = r, и треугольник OAB - прямоугольный, равнобедренный.

Следовательно AB__OB = r_R = sin45°

Отсюда находим радиус цилиндра r = R·sin45° = R·√2_/2 = √2_·√2_/2 = 1

и его объём V = πr ²h = π·1²·2 = 2π ≈ 6,28.

Дополним чертеж осевого сечения радиусом шара и расставим буквы для обозначения отрезков.
Площадь поверхности шара S_ш = 4πR² = 100π. Отсюда R² = 25 и R = 5.
В треугольнике OAB: OA = x - половина искомой высоты цилиндра; AB = 4 - радиус основания цилиндра; OB = 5 - радиус шара.
По теореме Пифагора:
x² + 4² = 5²
x² = 25 − 16 = 9; x = 3. h = 6.

Как видно из рисунков вверху, в этом случае конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту.

При одинаковых r и h объём конуса V_к = 1_3 πr ²h

в три раза меньше объёма цилиндра V_ц = πr ²h.
Таким образом, искомая величина V_ц = 3×5 = 15.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков: AC = h - высота конуса и цилиндра, CB = r - радиус оснований конуса и цилиндра, AB = l - образующая цилиндра.
Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

AB² = AC² + CB² ==> l ² = h ² + r ²
По условию задачи h = r, следовательно

l ² = r ² + r ²;   l ² = 2r ²;    l = √2_·r.
Площадь боковой поверхности цилиндра S_ц = 2πrh = 2πr ²;

Площадь боковой поверхности конуса S_к = πrl = πr·√2_·r = √2_πr ²;

S_ц___S_к = 2πr ²______ √2_πr ² = √2_,

т.е. площадь боковой поверхности цилиндра в √2_ раз больше площади боковой поверхности конуса.
Окончательно S_к = 3√2_ / √2_ = 3

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков:
AC = h_к - высота конуса, CB = r_к - радиус основания конуса,
DC = h_ц - высота цилиндра, DE = r_ц - радиус основания цилиндра.
Найдём отношение объёмов конуса и цилиндра:

объем конуса V_к = 1_ 3πr_к²h_к, объем цилиндра V_ц = πr_ц²h_ц,

следовательно V_к : V_ц = r_к²h_к : 3r_ц²h_ц

По условию задачи точка D - середина отрезка AC, т.е. AD = DC = AC / 2, и потому h_к : h_ц = 2 : 1.

Треугольники ADE и ACB подобны по двум углам: ∠ADE и ∠ACB - прямые, ∠EAD (∠BAC) - общий.
Поэтому CB : DE = AC : AD, т.е. r_к : r_ц = h_к : h_ц = 2 : 1.
Подставляем полученные отношения в пропорцию V_к : V_ц = (2²·2) : (3·1²·1) = 8 : 3
Отсюда V_к = V_ц·8/3 = 60·8/3 = 160.

В один и тот же конус можно вписать разные цилиндры. Обозначим символом r радиус вписанного цилиндра, h - его высоту.
Из подобия треугольников ADE и ABC (см. решение предыдущей задачи) составим пропорцию
AC : AD = CB : DE,
15 : (15 − h) = 3 : r,
преобразуя которую, найдём соотношение между высотой и радиусом цилиндра, вписанного в заданный конус:
15· r = 3·(15 − h),  h = 15 − 5r.

Теперь можем выразить объём цилиндра только через один его характерный размер:
V = πr ²h = πr ²·(15 − 5r) = 15πr ² − 5r ³.
Получили выражение для объёма цилиндра в виде функции одной переменной V = f(r).
Чтобы найти максимальное значение этой функции, нужно найти её производную.
V' = (15πr ² − 5r ³)' = 15π·2r − 5·3r ² = 30πr − 15r ².
Затем приравнять производную к нулю и решить уравнение V' = 0 относительно переменной r.
30πr − 15πr ² = 0,  15πr(2 − r) = 0.
Это уравнение имеет два корня r₁ = 0 и r₂ = 2, которые являются точками экстремумов функции V(r). Необходимости проводить исследование на характер экстремумов в данном случае нет, так как очевидно, что при r = 0 объем "цилиндра" будет нулевым, т.е. минимальным. Максимального значения объём достигает при r = 2. Вычислим это значение
V = 15πr ² − 5r ³ = 15π·2² − 5π·2³ = 60π − 40π = 20π.

Так как по условию задачи центр сферы находится в центре основания конуса, то основание конуса, в свою очередь, является диаметральным сечением сферы. Т.о. на плоском чертеже отрезок AB является диаметром окружности, и ∠ACB = 90° как вписанный угол, опирающийся на её диаметр.
Пусть l = 7√2_ - образующая конуса, R - радиус сферы. Тогда в прямоугольном треугольнике ABC AC = BC = l - катеты, AB = 2R - гипотенуза. По теореме Пифагора
AB² = AC² + BC²;
(2R)² = l ² + l ²;
4R ² = l ² + l ² = 2l ²;   4R ² = 2(7√2_)²;
4R ² = 2·49·2 = 4·49;   R ² = 49;  R = 7.

Пусть R - радиус сферы. Поскольку СD - диаметр окружности осевого сечения, то СH + HD = 2R.
Воспользуемся свойством пересекающихся хорд окружности, чтобы найти длину отрезка HD = x.
DH·HС = AH·HC

x·  1__√π_ =   2__√π_ ·  2__√π_

Преобразуя, получим х =   4__√π_.

Тогда 2R =   1__√π_ +   4__√π_ =  5__√π_;   R =  5___2√π_.


Площадь сферы S = 4πR² = 4π·25___4π = 25.

На этом рисунке углы между высотой и образующей - ∠OCA и ∠OCB. По условию задачи они равны 45°. Таким образом треугольники OCA и OCB прямоугольные, равнобедренные. Следовательно, радиус шара равен высоте конуса, и площадь осевого сечения конуса (площадь треугольника ABC) можно выразить только через радиус шара   S = OC·AB/2=R·2R/2 = R².
Таким образом,

Пусть образующая конуса (AC = BC) равна a. Тогда по условию задачи диаметр конуса (AB) тоже равен a. То есть, треугольник ABC - равносторонний.
Чтобы найти радиус шара (R), используем формулу, связывающую длину стороны равностороннего треугольника и радиус описанной около него окружности.

R = a √3_ ___ 3.

S_к__S_ш = 3πa²/4______4πa²/3 =  9__16 = 0,5625.