Продолжение темы "Вступительные экзамены прошлых лет". Задачи с решениями могут быть использованы для подготовки к сдаче ЕГЭ профильного уровня. А их комбинация в варианте поможет школьнику избежать зацикленности на предлагаемом способе решения, связанном с нумерацией заданий демонстрационного варианта ЕГЭ.

Другие варианты доступны по ссылкам:

Ответы и решения для этих задач можно найти в нижней части страницы c задачами, но не торопитесь этого делать. Сначала решите их самостоятельно.

С вопросами, комментариями, мнением об экзаменах - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

И, пожалуйста, напишите об ошибке, если обнаружите таковую в моих решениях.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

  1. Решите уравнение \[25^x+24\cdot5^{x-1}-1 = 0.\]
  2. Три сенокосилки имеют разную производительность. Первая и вторая сенокосилки, работая вместе, скашивают некоторое поле за 10 часов, а вторая и третья, работая вместе, скашивают это же поле за 8 часов. Если бы работали три сенокосилки, то они скосили бы это поле за 5 часов. За какое время скосит это поле каждая из сенокосилок?

  3. Решите уравнение \[ \sqrt{2}\cdot\cos{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)} -\sin {x} = |\cos{x}|.\]
  4. В трапеции ABCD длина основания AD равна 4, длина основания BC равна 3, длины сторон AB и CD равны. Точки M и N лежат на диагонали BD, причём точка М расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найдите длину отрезка CN, если BM : DN = 2 : 3.

  5. Для каждого отрицательного числа \(a\) найдите наименьшее значение функции \[y = \frac{1}{3}(x-a)^3- \frac{1}{2}(x-a)^2\] на промежутке \(0\le x \le1\).


Ответы и решения.

Пользуйтесь кнопками, чтобы открыть и посмотреть мои решения задач представленного варианта. Но только после того, как попробуете решить их самостоятельно. Ваши решения не обязаны полностью совпадать с моими, так как в математике существуют разные способы решения одних и тех же задач, но они обязательно должны быть обоснованными и обладать внутренней логикой.

Задача 1. Решите уравнение \[25^x+24\cdot5^{x-1}-1 = 0.\]

Решение.

\[25^x+24\cdot5^{x-1}-1 = 0;\\5^{2x}+24\cdot\frac{5^x}{5}-1 = 0.\] Введём переменную \(y = 5^x, \; y > 0,\) тогда \[y^2+\frac{24}{5}y-1 = 0;\\ D_{II} = \left(\frac{12}{5}\right)^2 + 1 = \frac{144}{25} + 1 =\frac{169}{25};\\ y_{1,2} = -\frac{12}{5}\pm\sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{-12\pm 13}{5};\\ y_1 = \frac{-12 + 13}{5}=\frac{1}{5}=5^{-1}; \;\; y_2 = \frac{-12 - 13}{5}=\frac{-25}{5}=-5. \] Второй корень не удовлетворяет условию \(y>0\), следовательно \[5^x = 5^{-1};\; x = -1.\]

Ответ: −1.

Показать ответ    

Задача 2. Три сенокосилки имеют разную производительность. Первая и вторая сенокосилки, работая вместе, скашивают некоторое поле за 10 часов, а вторая и третья, работая вместе, скашивают это же поле за 8 часов. Если бы работали три сенокосилки, то они скосили бы это поле за 5 часов. За какое время скосит это поле каждая из сенокосилок?

Решение.

Производительность сенокосилок – часть поля, скашиваемую за 1 час, – обозначим переменными: \(x,\;y\) и \(z\), соответственно для первой, второй и третьей. Составим систему уравнений с учётом того, что скашивая за определённое время свои участки, вместе сенокосилки скашивают всё поле, т.е. его одну целую часть (1). \[ \begin{cases} 10x +10y = 1, \\ 8y + 8z = 1, \\ 5x + 5y + 5z = 1. \end{cases} \] Систему решаем, постепенно исключая неизвестные. \[ \begin{cases} 10x = 1 - 10y, \\ 8z = 1 - 8y, \\ 5x + 5y + 5z = 1. \end{cases} \left| \begin{array}{l} x = \dfrac{1 - 10y}{10}, \\ z = \dfrac{1 - 8y}{8}, \\ x + y + z = \dfrac{1}{5}. \end{array} \right. \left| \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{10} - y, \\ y = \dfrac{1}{8} - y, \\ \dfrac{1}{10} - y + y + \dfrac{1}{8} - y = \dfrac{1}{5}. \end{array} \right.\] Преобразуем третье уравнение системы. \[\frac{1}{10} - y + y + \frac{1}{8} - y = \frac{1}{5};\\ -y = \frac{1}{5}-\frac{1}{10} - \frac{1}{8};\\y = -\frac{1}{5}+\frac{1}{10} + \frac{1}{8};\\ y = \frac{-1\cdot8+1\cdot4+1\cdot5}{40};\\y = \frac{1}{40}.\] Следовательно \[x = \frac{1}{10} - y = \frac{1}{10} - \frac{1}{40} = \frac{4-1}{40} = \frac{3}{40}, \\ z = \frac{1}{8} - y = \frac{1}{8} - \frac{1}{40} = \frac{5-1}{40} = \frac{1}{10}. \] Время, за которое скосит поле каждая из сенокосилок, величина обратная их производительности. \[t_1 = \frac{1}{x}=\frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}\;(часа); \\t_2 = \frac{1}{y}=\frac{40}{1} = 40\;(часов); \\ t_3 = \frac{1}{z}=\frac{10}{1} = 10\;(часов). \]

Ответ: 13 часов 20минут, 40 часов и 10 часов.

Показать ответ    

Задача 3. Решите уравнение \[ \sqrt{2}\cdot\cos{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)} -\sin{x} = |\cos{x}|.\]

Решение.

Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулой косинуса суммы двух углов. \[ \sqrt{2}\cdot\left(\cos{x}\cdot\cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{x}\cdot\sin{\frac{\pi}{4}}\right) -\sin{x} = |\cos{x}|;\\ \sqrt{2}\cdot\left(\cos{x}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin{x}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \right) -\sin {x} = |\cos{x}|;\\ \cos{x} - \sin{x} - \sin {x} = |\cos{x}|\] Раскрывая модуль по определению, получаем равносильную совокупность систем уравнений. \[\left[\begin{array}{l}{\begin{cases} \cos{x} \ge 0, \\ \cos{x} - 2\sin{x} = \cos{x};\end{cases}} \\ {\begin{cases} \cos{x} < 0, \\ \cos{x} - 2\sin{x} = -\cos{x}.\end{cases}} \end{array}\right.\] Решаем уравнения, а соответствие корней неравенствам проверим по тригонометрической окружности.

Две тельной

\(\cos{x} - 2\sin{x} = \cos{x}; \\ - 2\sin{x} = 0; \;\; \sin{x} = 0;\;\; x = \pi n, \;n \in Z.\)

\(\cos{x} - 2\sin{x} = -\cos{x}; \\ 2\cos{x}- 2\sin{x} = 0; \;\; \cos{x}-\sin{x} = 0.\) Получили однородное уравнение первой степени, делим обе части на \(\cos{x} \ne 0.\) \(\dfrac{\cos{x}}{\cos{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 0 \\ 1- {\rm tg}{x} = 0; \;\; {\rm tg}{x} = 1; \;\; x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \;k \in Z.\)

На рисунке корни первого уравнения обозначены зелёным цветом, и в ответ должны войти только те из них, для которых \(\cos{x} \ge 0\). Таким образом, первой системе удовлетворяют \(x = 2\pi n, \;n \in Z.\)

Корни второго уравнения обозначены красным цветом, но в ответ должны войти только те из них, для которых \(\cos{x} < 0\). Второй системе удовлетворяют \(x = \pi+\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{\pi}{4} +(2k+1)\pi, \;k \in Z.\)\)

Ответ:\(\{2\pi n;\; \dfrac{\pi}{4} +(2k+1)\pi\}, \;n, k \in Z.\)

Показать ответ    

Задача 4. В трапеции ABCD длина основания AD равна 4, длина основания BC равна 3, длины сторон AB и CD равны. Точки M и N лежат на диагонали BD, причём точка М расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найдите длину отрезка CN, если BM : DN = 2 : 3.

Решение.

равнобочная трапеция

Продолжим отрезки AM и CN до пересечения с основаниями трапеции. Получим ALCK – параллелограмм, т.к. AL||KC лежат на основаниях трапеции, AK||CL лежат на перпендикулярах к одной прямой, следовательно KC = AL.

Пусть \(KC = AL = x\), тогда \(BK = BC-KC = 3-x\) и \(LD = AD - AL = 4-x.\)

Рассмотрим треугольники BMK и LND. Они прямоугольные и имеют равные острые углы: \(\angle KBM = \angle LDN\) как внутренние накрест лежащие при BC||AD. Следовательно, треугольники подобны по первому признаку. Составим пропорцию для их соответственных сторон

\[\frac{BK}{LD} = \frac{BM}{ND} \Rightarrow \frac{3-x}{4-x} = \frac{2}{3}; \\ (3-x)\cdot3 = (4-x)\cdot2; \;9 - 3x = 8 -2x; \; x = 1. \]

Таким образом, \(LD = 4-1 = 3,\) следовательно BLDC – параллелограмм, более того, ромб. Параллелограмм потому, что \(BC || LD \) И \(BC = LD = 3\). Ромб потому, что диагонали параллелограмма \(BD\) и \(LC \) перпендикулярны. Отсюда \(BL = CD = AB = 3.\)

В равнобедренном треугольнике ABL проведём высоту BH. Получим \(AH = HL = \dfrac{1}{2}\).
Теперь мы имеем ряд прямоугольных треугольников с известными сторонами и можем использовать теорему Пифагора.

\(\triangle BHL: BH^2 = BL^2 - HL^2 = 3^2 - 0,5^2 = 8,75; \\ \triangle BHD: BD^2 = BH^2 + DH^2 = BH^2 + (DL+HL)^2 = \\\qquad \qquad = 8,75 + (3 + 0,5)^2 = - 0,5^2 = 21; \\ \triangle CND: CN^2 = CD^2 - DN^2 = CD^2 - (BD/2)^2 = CD^2 - BD^2/4 = \\ \qquad \qquad = 3^2 - 21/4 = - 0,5^2 =3,75;\\ CN = \sqrt{3,75} = \sqrt{{\large3}\dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{15}{4}} = \dfrac{\sqrt{15}}{2}.\)

Ответ: \(CN = \dfrac{\sqrt{15}}{2}.\)

Показать ответ    

Задача 5. Для каждого отрицательного числа \(a\) найдите наименьшее значение функции \[y = \frac{1}{3}(x-a)^3- \frac{1}{2}(x-a)^2\] на промежутке \(0\le x \le1\).

Решение.

Найдём производную функции \[y' = \left(\frac{1}{3}(x-a)^3- \frac{1}{2}(x-a)^2\right)' = \\ = \frac{1}{3}\cdot3(x-a)^2- \frac{1}{2}\cdot2(x-a)^1 = (x-a)^2 -(x-a),\] и приравняем её к нулю, чтобы найти точки экстремумов. \[(x-a)^2 -(x-a) =0,\\ (x-a)(x-a -1) =0, \\ x_1 =a,\; x_2 =a+1.\] Исследуем поведение функции на интервалах. (Для проверки знаков производной можно в её формулу подставить, например, \(x = a+0,5.\))

участки возрастания убывания функции

Итак, при любом \(a\) наименьшее значение функции на всей области определения достигается в точке \(x = a+1\) и составляет \[y = \frac{1}{3}(x-a)^3- \frac{1}{2}(x-a)^2 =\frac{1}{3}(a+1-a)^3- \frac{1}{2}(a+1-a)^2 =-\frac{1}{6}.\]

Но по условию задачи нам нужно найти наименьшее значение не на области определения, а на промежутке \(0\le x \le1\) и при условии, что \(a\) отрицательно. Для этого проанализируем, как могут располагаться точки \(a\) и \(a+1\) относительно этого промежутка. Заметим, во-первых, что ширина заданного отрезка \([0;1]\) также, как ширина полученного участка убывания функции \((a;a+1)\), равна 1, во-вторых, что заданный промежуток при \(a<0\) на числовой оси находится правее точки \(a\).

Минимум функции принадлежит отрезку

Если \(-1< a <0\), то \(0< a+1 <1\), т.е. точка минимума функции принадлежит отрезку \([0;1]\), и искомое наименьшее значение функции равно вычисленному значению: \( -\dfrac{1}{6}\).

Минимум функции не  принадлежит отрезку

Если \(a\le -1\), то \(a+1\le 0\) и, как видно из рисунка, функция на отрезке \([0;1]\) возрастает. В этом случае её наименьшее значение достигается на левой границе отрезка, т.е. в точке \(x = 0\). \[y = \frac{1}{3}(0-a)^3- \frac{1}{2}(0-a)^2 = -\frac{1}{3}a^3- \frac{1}{2}a^2.\]

Ответ: При \(a\le -1 \; y_{наим.} =-\dfrac{1}{3}a^3- \dfrac{1}{2}a^2,\)
при \(-1< a <0\ \;y_{наим.} =-\dfrac{1}{6}.\)

Показать ответ