Сравните свои возможности с требованиями к знаниям математики абитуриентов прошлых лет. Тех лет, когда еще не было ЕГЭ, а значит и демонстрационных вариантов, когда каждый вуз предлагал свой набор тем для заданий, а экзаменующийся не знал их заранее.

Кому легче поступить в вуз вам сейчас или вашим родителям тогда? Решите вариант прошлых лет и предложите родителям решить что-нибудь из ЕГЭ по математике, близкое к их нынешней специальности. Ответы и решения для этих задач можно найти здесь же в нижней части страницы, но не торопитесь этого делать. Без самостоятельной работы никаких успехов в математике не бывает.

Кроме того, всё новое это хорошо забытое старое, тем более, что такой предиет как школьная математика очень консервативен. Поэтому любая из этих задач может быть немного переформулирована и внесена в вариант ЕГЭ.

Другие варианты доступны по ссылкам:

С вопросами, комментариями, мнением об экзаменах - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

И, пожалуйста, напишите об ошибке, если обнаружите таковую в моих решениях.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

  1. Решите уравнение \[\sqrt{4\cos{2x} - 2\sin{2x}} =2\cos{x}.\]
  2. Решите неравенство \[\frac{\log_3{\left(1-\dfrac{3x}{2}\right)}}{\log_9{(2x)}} \ge 1.\]
  3. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенствами \[\begin{cases} x^2+y^2\le 4x-4y-6, \\ x\ge1.\end{cases} \]
  4. Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Из точки D радиусом равным AD, описана окружность, пересекающая стороны треугольника АВ и АС в точках М и N соответственно. Вычислите длину стороны АС, если заданы длины сторон АВ = с, АМ = n и AN = m.


  5. Найдите все пары чисел p и q, при которых неравенство \[|x^2 + px + q| > 2\] не имеет решений на отрезке [1;5].


  6. В основании призмы лежит равносторонний треугольник АВС со стороной \(\sqrt3.\) Боковые ребра AD, BE, CF перпендикулярны основанию. Сфера радиуса 7/2 касается плоскости АВС и продолжений отрезков АЕ, BF, CD за точки А, В и С соответственно. Найдите длину боковых ребер призмы.


Ответы и решения.

Пользуйтесь кнопками, чтобы открыть и посмотреть мои решения задач представленного варианта. Но только после того, как попробуете решить их самостоятельно. Ваши решения не обязаны полностью совпадать с моими, так как в математике существуют разные способы решения одних и тех же задач, но они обязательно должны быть обоснованными и обладать внутренней логикой.

Задача 1. Решите уравнение \[\sqrt{4\cos{2x} - 2\sin{2x}} = 2\cos{x}.\]

Решение.

Область допустимых значений выражения (ОДЗ): \[\begin{cases} 4\cos{2x} - 2\sin{2x} \ge 0;\\ 2\cos{x}\ge 0.\end{cases} \] Преобразуем уравнение на ОДЗ: \[\left(\sqrt{4\cos{2x} - 2\sin{2x}}\right)^2 = (2\cos{x})^2; \\ 4\cos{2x} - 2\sin{2x} = 4\cos^2{x};\\ 4\cos{2x} - 2\sin{2x} = 4\cdot\frac{1+\cos{2x}}{2};\\ 4\cos{2x} - 2\sin{2x} = 2+2\cos{2x};\\ 2\cos{2x} - 2\sin{2x} = 2;\\ \cos{2x} - \sin{2x} = 1.\] Решаем преобразованное уравнение. Это можно сделать самыми разными способами.

Способ I.

Умножим обе части уравнения на \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) и заменим в левой части уравнения это значение на \(\cos{\dfrac{\pi}{4}}\) и \(\sin{\dfrac{\pi}{4}}\). \[\frac{\sqrt2}{2}\cos{2x} - \frac{\sqrt2}{2}\sin{2x} = 1\cdot\frac{\sqrt2}{2};\\ \cos{\frac{\pi}{4}}\cos{2x} - \sin{\frac{\pi}{4}}\sin{2x} = \frac{\sqrt2}{2};\\ \cos{\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)} = \frac{\sqrt2}{2}.\] Под конец воспользовались формулой косинуса суммы двух углов и получили простейшее тригонометрическое уравнение, которое решается по формуле \[\pm\arccos{a} + 2{\pi}n\] или через тригонометрический круг. Получим \[\frac{\pi}{4}+2x = \pm\arccos{\frac{\sqrt2}{2}} + 2{\pi}n, n \in Z.\] Преобразуем, чтобы найти \(x\). \[\frac{\pi}{4}+2x = \pm\frac{\pi}{4} + 2{\pi}n;\\ 2x = \pm\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+ 2{\pi}n;\\ x = \pm\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{8}+ {\pi}n;\\ x = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{8}+ {\pi}n = {\pi}n;} \\ {-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{8}+ {\pi}n = -\dfrac{\pi}{4}+{\pi}n.} \end{array} } \right. n \in Z.\]

Способ II.
Уравнение \(\cos{2x} - \sin{2x} = 1\) можно свести к однородному уравнению второй степени, если воспользоваться формулами двойного угла и основным тригонометрическим тождеством. Попробуйте проделать это самостоятельно.

Способ III.
Можно сделать подстановку \(y = \sin{2x}\) и выразить \(\cos{2x}\) через \(y\) с помощью основного тригонометрического тождества. Этот способ интересен тем, что на первый взгляд кажется более лёгким, однако требует особого внимания к знакам выражений и является весьма коварным. Также предлагаю попробовать этот вариант решения самостоятельно.

Итак, ответы для преобразованного уравнения получены, но они еще не являются окончательными, так как мы только предполагали, что будем делать равносильные преобразования и оставаться на ОДЗ, но не отслеживали этого на каждом шаге. В отличие от ряда других задач при решении уравнений это не ошибка. Проверить ответы на соответствие ОДЗ можно в конце.

Проверка на соответствие ОДЗ.

Сделаем это с помощью тригонометрического круга, где красным цветом обозначили точки, соответствующие ответам, и зелёным цветом их удвоенные значения, необходимые для проверки первого неравенства системы.

тригонометрический круг и корни уравнения

При \(x = 0\) имеем
\(4\cos{2x} - 2\sin{2x} = 4\cdot1-2\cdot0 = 4 \gt 0; \)
при \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) имеем
\(4\cos{2x} - 2\sin{2x} = 4\cdot0-2\cdot(-1) = 2 \gt 0, \)
т.е. первое неравенство системы выполнено при всех полученных \(x\).

Условие \(2\cos{x}\ge 0\) выполняется в первой и четвёртой четвертях круга, т.е. для корней \(x = 0\) и \(x = -\dfrac{\pi}{4}\), две другие красные точки надо отбросить.

Итак, корнями исходного уравнения являются значения \(x = 0 + 2\pi n\ = 2\pi n\) и \(x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n\).

Ответ: \(\left\{2\pi n; \; -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \right\}\).

Показать ответ    

Задача 2. Решите неравенство \[\frac{\log_3{\left(1-\dfrac{3x}{2}\right)}}{\log_9{(2x)}} \ge 1.\]

Решение.

ОДЗ: \(\begin{cases} 1 - \dfrac{3x}{2} \gt 0,\\ 2x \gt 0, \\ \log_9{(2x)} \ne 0;\end{cases} \;\; \Leftrightarrow \;\; \begin{cases} x \lt \dfrac{2}{3},\\ x \gt 0, \\ x \ne \dfrac{1}{2}.\end{cases} \)

ОДЗ неравенства

Преобразуем неравенство: \[\frac{\log_3{\left(1-\dfrac{3x}{2}\right)}}{\log_9{(2x)}} \ge 1; \\ \frac{\log_9{\left(1-\dfrac{3x}{2}\right)^2}}{\log_9{(2x)}} \ge 1; \\ \log_{\large2x}{\left(1-\frac{3x}{2}\right)^2} \ge 1;\\ \log_{\large2x}{\left(1-\frac{3x}{2}\right)^2} \ge \log_{\large2x}{(2x)}. \] В конце воспользовались формулой перехода к новому основанию \(\log_a{b} = \dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\) и определением логарифма.
Далее используем метод рационализации для логарифмических неравенств. \[ (2x - 1)\cdot\left(\left(1-\frac{3x}{2}\right)^2 - 2x\right) \ge 0. \] Чтобы найти нули второго сомножителя и разложить его на простые множители, нужно упростить выражение в скобке и решить квадратное уравнение. Сделайте это самостоятельно. В итоге должно получиться \[(2x - 1)\cdot\frac{9}{4}\cdot\left(x-\frac{2}{9}\right)\cdot(x-2) \ge 0 \Leftrightarrow \;\; \\ \Leftrightarrow \;\; \left(x -\frac{1}{2}\right)\cdot\left(x-\frac{2}{9}\right)\cdot(x-2) \ge 0. \] Завершаем решение методом интервалов, отмечая интарвалы на подготовленной числовой оси с выделенной областью допустимых значений.

Решение логарифмического неравенства

Точки и знаки интервалов вне ОДЗ нас не интересуют. Их можно не отмечать на оси или отмечать для контроля возможных арифметических ошибок, но в ответ войдут только решения принадлежащие ОДЗ. По рисунку видно, что интересующие нас значения \(x\) принадлежат промежутку \(\left[\dfrac{2}{9};\dfrac{1}{2}\right)\)

.

Ответ: \(x \in \left[\dfrac{2}{9};\dfrac{1}{2}\right).\)

Показать ответ    

Задача 3. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенствами \[\begin{cases} x^2+y^2\le 4x-4y-6, \\ x\ge1.\end{cases} \]

Решение.

Преобразуем первое неравенство системы \[ x^2+y^2\le 4x-4y-6; \\ x^2+y^2-4x+4y + 4 + 4\le-6 + 4+ 4; \\(x-2)^2+(y+2)^2\le 2.\] В случае равенства это выражение задаёт окружность радиуса \(\sqrt{2}\) с центром в точке О{2;−2}. Неравенство будет выполнено для всех точек координатной плоскости внутри этого круга, включая его границу.

Второе неравенство будет выполнено для всех точек координатной плоскости, расположенных правее вертикальной прямой \(x=1,\) также включая границу полуплоскости.

Решением системы будет пересечение указанных областей.

Ваш браузер не поддерживает рисование.

Как видно из чертежа, это больший сегмент круга, ограниченный справа дугой окружности, слева – хордой AB. Чтобы найти его площадь, нужно из площади круга вычесть площадь сектора АОВ и прибавить площадь треугольника АОВ.

Длины радиусов АО и ВО совпадают с длиной диагонали клетки координатной сетки (квадрата 1×1): \(d = \sqrt{(1^2+1^2)} = \sqrt{2}\). Поэтому точки А и В находятся в узлах сетки и ∠АОВ = 90°.

Сектор с углом 90° представляет собой четверть круга. А равнобедренный прямоугольный треугольник АОB – половинку квадрата со стороной \(AO\), следовательно искомая площадь сегмента равна \[ \pi r^2 - \frac{\pi r^2}{4} + \frac{(AO)^2}{2} = \\ = \pi (\sqrt{2})^2 - \frac{\pi (\sqrt{2})^2}{4} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \\ = 2\pi - \frac{\pi}{2} + 1 = 1+ \frac{3\pi}{2}.\]

Замечание.
Можно ли сказать: "как видно из рисунка, угол АОВ = 90°"?
Нельзя потому, что таким же видится угол 89°, или угол 88° или ... Дальше зависит от глазомера, но экзамен по математике проверяет не ваши физические возможности, а ваши знания и умение обосновать свои утверждения.

Ответ: S = \(1+ \dfrac{3\pi}{2}.\)

Показать ответ    

Задача 4. Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Из точки D радиусом равным AD, описана окружность, пересекающая стороны треугольника АВ и АС в точках М и N соответственно. Вычислите длину стороны АС, если заданы длины сторон АВ = с, АМ = n и AN = m.

Решение.

описана окружность, пересекающая стороны треугольника Обозначим точки пересечения окружности со стороной ВС символами K и L. Точки M и N соединим отрезком прямой.
Рассмотрим треугольники AMN и АВС. Они имеют общий тупой угол при вершине А. Докажем равенство углов ANM и ABC.

ANM = \(\dfrac{\small\cup\normalsize AM}{2}\) (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается).

ABC = \(\dfrac{\small\cup\normalsize AK - \small\cup\normalsize ML}{2}\) (угол между секущими измеряется полуразностью дуг между ними).

Учитывая, что \(\small\cup\normalsize AM = \small\cup\normalsize AL - \small\cup\normalsize ML\), а дуги AL и AK по 90° (градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла), получим

\(\angle ANM = \dfrac{\small\cup\normalsize AM}{2} = \dfrac{\small\cup\normalsize AL - \small\cup\normalsize ML}{2} = \dfrac{90°-\small\cup\normalsize ML}{2}. \)
\(\angle ABC = \dfrac{\small\cup\normalsize AK - \small\cup\normalsize ML}{2} = \dfrac{90°-\small\cup\normalsize ML}{2}.\)

Таким образом, углы ANM и ABC равны, а рассматриваемые треугольники AMN и АВС подобны по первому признаку (по двум углам).

Составим пропорцию для соответственных сторон треугольников и проведём вычисления. \[\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB};\\ \frac{n}{AC}=\frac{m}{c}; \\n\cdot c =m \cdot AC; \\AC=\frac{nc}{m}.\]

Ответ: \(AC=\dfrac{nc}{m}.\)

Показать ответ    

Задача 5. Найдите все пары чисел p и q, при которых неравенство \[|x^2 + px + q| > 2\] не имеет решений на отрезке [1;5].

Решение.

По определению модуля
\[|x^2 + px + q| > 2 \; \Leftrightarrow \; \left[ \begin{array}{l} {x^2 + px + q > 2}\\[1ex] {x^2 + px + q < - 2.} \end{array} \right. \]

Таким образом, нужно найти значения параметров, при которых совокупность неравенств не имеет решений на отрезке [1;5], т.е. ни одно из неравенств не имеет решений на отрезке [1;5].

Построим несколько парабол \(y = x^2 + px + q\) с разными \(p\) и \(q\) и граничные условия задачи: прямые \(y = 2;\; y = -2;\; x = 1\; и\; x = 5\).

Ваш браузер не поддерживает рисование.

Решение задачи заключается в выполнении следующего условия: ни какой из участков параболы \(y = x^2 + px + q \) на отрезке [1;5] не должен располагаться выше \(y=2\) и ниже \(y = -2\).

Случай I - вершина параболы внутри интервала (1;5). Вершина должна располагвться выше прямой \(y = -2,\) а обе ветви должны пересекать линии \(x = 1\;и\;x = 5\) ниже прямой \(y = 2\): \[ \begin{cases} 1 < x_в < 5,\\ y_в \ge -2, \\ y(1) \le 2,\\ y(5) \le 2; \end{cases} \left| \begin{array}{l} {1 < -p/2 < 5,}\\{-p^2/4+q \ge -2,} \\{1+p+q \le 2,}\\{25+5p+q \le 2;}\end{array} \right. \left| \begin{array}{l}2 < -p < 10,\\p^2 - 4q \le 8,\\4+4p + 4q \le 8,\\100+20p + 4q \le 8.\end{array} \right.\]

Преобразовали неравенства так, чтобы, сложив второе с третьим и второе с четвёртым, исключить параметр \(q\). (Неравенства одного знака можно складывать – меньшее с меньшим, большее с большим.) \[ \begin{cases} p^2 +4+4p \le 16;\\p^2 + 100+20p \le 16;\end{cases} \left|\begin{array} {l}(p+2)^2 \le 16;\\(p+10)^2 \le 16;\end{array}\right. \left|\begin{array} {l} -4\le p+2 \le 4;\\-4\le p+10 \le 4;\end{array}\right. \left|\begin{array} {l} -6\le p \le 2;\\-14\le p \le -6.\end{array}\right. \] Последние два неравенства совместимы только при \(p = -6\). Подставим это значение в исходную систему. \[\begin{cases}2 < -(-6) < 10;\\(-6)^2-4q \le 8; \\4+4(-6)+4q \le 8;\\100+20\cdot(-6)+4q \le 8;\end{cases} \left| \begin{array} {l}2 < 6 < 10;\\36 -4q \le 8; \\-20+4q \le 8; \\-20+4q \le 8;\end{array}\right. \left| \begin{array} {l}-4q \le -28; \\ 4q \le 28; \end{array}\right.\left| \begin{array} {l}q \ge 7; \\ q \le 7;\end{array}\right. | q=7. \]

Вывод: \( p = -6,\; q = 7\).

Случай II - вершина параболы смещена влево. Через рассматриваемый участок проходит возрастающая ветвь параболы. \[\begin{cases} x_в \le 1;\\ y(1) \ge -2;\\ y(5) \le 2.\end{cases} \left|\begin{array}{l}-p/2 \le 1;\\1+p+q \ge -2;\\ 25+5p+q \le 2.\end{array} \right. \left| \begin{array}{l}p \ge -2;\\-1-p-q \le 2;\\25+5p+q \le 2. \end{array}\right.\\ \begin{cases}p \ge -2;\\24+4p \le 4;\end{cases} \left| \begin{array}{l}p \ge -2;\\4p \le -20;\end{array} \right. \left| \begin{array}{l}p \ge -2;\\p \le -6.\end{array}\right.| p \in \varnothing.\]

Случай III - вершина параболы смещена вправо. Через рассматриваемый участок проходит убывающая ветвь параболы. \[ \begin{cases} x_в \ge 5,\\ y(1) \le 2,\\ y(5) \ge -2; \end{cases} \left|\begin{array} {l}-p/2 \ge 5,\\1+p+q \le 2,\\ 25+5p+q \ge -2;\end{array} \right. \left| \begin{array} {l}p \le -10,\\1+p+q \le 2,\\ -25-5p-q \le 2;\end{array} \right.\\ \begin{cases}p \le -10,\\-24-4p \le 4; \end{cases} \left| \begin{array} {l}p \le -10,\\-4p \le 28; \end{array} \right. \left| \begin{array} {l}p \le -10,\\p \ge -7; \end{array} \right.| p \in \varnothing.\]

Системы неравенств для случаев II и III решали аналогично. Ответом в обоих случаях оказалось пустое множество.

Итак, найдена только одна пара значений параметров, удовлетворяющая условию задачи \( p = -6,\; q = 7\).

Замечания.
1). Сложение неравенств в общем случае НЕ является методом решения систем неравенств. Но по свойствам числовых неравенств результат их сложения также должен быть верным неравенством. Здесь в процессе преобразований мы получали противоречия, поэтому удалось решения довести до ответов.
Решать системы неравенств с двумя переменными лучше графически.
2). Эту задачу можно было решить проще и без неравенств через движение графика функции \(y = x^2\). Повторите движение параболы и попробуйте ообосновать полученный здесь ответ с другой точки зрения.

Ответ: \( p = -6, q = 7\).

Показать ответ    

Задача 6. В основании призмы лежит равносторонний треугольник АВС со стороной \(\sqrt3.\) Боковые ребра AD, BE, CF перпендикулярны основанию. Сфера радиуса 7/2 касается плоскости АВС и продолжений отрезков АЕ, BF, CD за точки А, В и С соответственно. Найдите длину боковых ребер призмы.

сфера касается призмы

Решение.

Из условия следует, что призма ABCDEF правильная. Центр К правильного треугольника ABC и центр сферы лежат на общем перпендикуляре к плоскости основания призмы, так как в виду симметрии конструкции точка К является точкой касания сферой плоскости основания призмы.

Рассмотрим плоскость грани ADFC. В этой плоскости находится одна из заданных прямых и её точка касания – точка М.
ADFC – прямоугольник.
Сечение сферы плоскостью – окружность. В данном случае это сечение находится от центра сферы на том же расстоянии \(z\), на которое точка K удалена от плоскости грани, т.е. на расстоянии равном радиусу окружности, вписанной в треугольник АВС. \[z = \frac{AC}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} =\frac{1}{2}.\]

радиус окружности сечения сферы плоскостьюРадиус окружности сечения \(r = \sqrt{R^2 -z^2}\)  (см. рисунок):
\[r = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{4}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.\]

решение задачи в плоскости граниАнализируем чертёж в плоскости ADF:
O1K1 = ОК = R = 7/2. O1M = r = \(2\sqrt{3}\), O1MDM, PK1АС, K1C = AC/2.

Рассмотрим треугольники PMO1 и РК1С. Они прямоугольные и имеют общий острый угол K1PC (O1PM), следовательно подобны по первому признаку. Составим пропорцию \[\frac{K_1C}{MO_1} = \frac{PC}{PO_1}.\]

Обозначим искомую длину бокового ребра призмы переменной \(x\), тогда \(PK_1 = x/2\), \(PC = \sqrt{K_1C^2+PK_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (x/2)^2}\), \(PO_1 = PK_1+K_1O_1 = x/2 + 7/2 \).

Подставим полученные значения в пропорцию, чтобы получить уравнение относительно \(x\). \[\frac{\sqrt{3}/2}{2\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}/2)^2 + (x/2)^2}{x/2 + 7/2}; \\ \frac{\sqrt{3}}{2\cdot2\sqrt{3}} = \frac{\left((\sqrt{3})^2 + x^2\right)\cdot2}{4\cdot(x+7)}; \\ \frac{1}{4} = \frac{2(3 + x^2)}{4(x+7)}; \\ x+7=2(3+x^2).\] Решаем квадратное уравнение \[2x^2 - x - 1 =0;\\D = 1+8 = 9; \;\; x_{1,2} = \frac{1\pm 3}{4};\\x_1 = 1,\; x_2 = - 0,5.\] Понятно, что отрицательное значение нам не подходит, следовательно \(x = 1\).

Ответ: AD = 1.

Показать ответ