Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Квадратичная функция. Парабола.

\(y = ax^2+bx+c\) - квадратичная функция. Графиком функции является парабола. Коэффициент \(a\) задаёт направление. Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх, если \(a<0\) – вниз. Коэффициент \(с\) показывает точку пересечения параболы с осью ординат \(Oy\). Коэффициент \(b\) в совокупности с коэффициентом \(a\) указывает на положение вершины параболы. \(x_в = \dfrac{-b}{2a},\) поэтому, если знаки коэффициентов \(a\) и \(b\) совпадают, то вершина параболы смещена влево относительно оси ординат, если не совпадают, то вправо.

О квадратичной функции и её графике на этом сайте размещено много различных материалов, в том числе, видеоуроков. С ними можно ознакомиться на странице "Квадратичная функция." Здесь будет рассмотрен один пример задания на выбор функции по её графику, который, на мой взгляд, является наиболее сложным из задач этого типа. А именно пример, когда формулы функций отличаются лишь знаками коэффициентов.

Задача 7. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

\[А)\; y = x^2-5x+1\;\;\; Б)\; y = x^2+5x+1\;\;\; В)\; y = -x^2+5x-1\]

ГРАФИКИ

графики к заданию ОГЭ на выбор параболы

Решение.

Коэффициент \(a=1>0\) в формулах А) и Б). Ветви парабол направлены вверх на графиках 1) и 4). Оба графика с направленными вверх ветвями пересекают ось ординат в точке \(x = 0;\;y=1\). В обоих формулах А) и Б) коэффициент \(с=1\). Таким образом, на основе анализа двух коэффициентов окончательный выбор осуществить не удалось.
Промежуточный вывод: функции А) могут соответствовать графики 1) или 4), функции Б) также могут соответствовать графики 1) или 4).

Замечаем, что у этих графиков вершины смещены в рвзные стороны относительно оси ординат. Значит, может помочь совместный анализ знаков коэффициентов \(a\; и\; b\). А еще проще, чтобы не запутаться в этих знаках, вычислить абсциссу вершины для любой из этих формул. Вычислим для А): \[x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5)}{2\cdot1} = 2,5 >0. \] В положительную сторону сдвинута вершина графика 1), следовательно функции А) соответствует график 1). Методом исключения уточняем промежуточный вывод: функции Б) соответствует график 4).

В оставшейся формуле В) коэффициент \(a=-1<0\), но у нас две параболы, у которых ветви направлены вниз: 2) и 3). Причём оба графика с направленными вниз ветвями пересекают ось ординат в точке c \(y=-1\). Таким образом, с помощью коэффициентов \(a\; и\; c\) получить ответ не удалось.
Вычисляем положение вершины параболы, которое должно соответствовать формуле В). Достаточно вычислить только абсциссу – \(x_в\). \[ x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-5}{2\cdot(-1)} = 2,5 > 0.\] В положительную сторону смещена вершина параболы на графике 3). Вывод: функции В) соответствует график 3).

Ответ:

АБВ
143

Сделаем проверку ответа по единичке, заодно посмотрим можно ли было полностью решить это задание методом подстановки \(x = 1\) в формулы и на графики. \[А)\; y = 1^2-5\cdot1+1 = -3;\\ Б)\; y = 1^2+5\cdot1+1 = 7;\;\;\;\\ В)\; y = -1^2+5\cdot1-1 = 3.\] графики к проверке задания ОГЭ на выбор параболы Вывод: А) - 1); Б) - 4); В) - 3). Задачу можно было решить по единичке, а проверить по коэффициентам трёхчлена.

Замечание: Если вы торопитесь и не хотите делать проверку (а зря!), то лучше всего подобные задачи решать комбинированным методом - сначала по направлению ветвей парабол и первому коэффициенту трёхчлена, а окончательный выбор по единичке.

Гипербола.

\(y = \dfrac{k}{x}\) – гипербола. Этот график состоит из двух отдельных ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях, если коээфициент \(k>0\), и во второй и четвёртой четвертях, если коээфициент \(k<0\). Модуль (абсолютная величина) коэффициента \(k\) показывает насколько далеко отстоят вершины ветвей гиперболы от начала координат. Чем больше \(|k|\), тем более плавной представляется гипербола в районе её вершины и тем дальше она находится от точки О(0;0).

Задача 8. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

="графики

ФОРМУЛЫ

\[1)\; y = \frac{1}{2x}\;\;\; 2)\; y = -\frac{2}{x}\;\;\; 3)\; y = \frac{2}{x}\;\;\; 4)\; y = -\frac{1}{2x}\]

Решение.

Все представленные графики – гиперболы, и все формулы – дроби с переменной \(x\) в знаменателе. Ответ зависит только от коэффициента \(k\). Но для заданий на выбор гиперболы надёжнее, чем для других функций, срабатывает метод "по единичке". Поэтому решение начнём с подстановки \(x = 1\) в формулы и на графики. \[1)\; y = \frac{1}{2\cdot1} = 0,5;\;\;\; 2)\; y = -\frac{2}{1} =-2;\;\\ 3)\; y = \frac{2}{1} = 2;\;\;\; 4)\; y = -\frac{1}{2\cdot1} = -0,5.\] графики к решению задания ОГЭ на выбор гиперболы Делаем вывод: \[А)- 3);\;\;\; Б) - 4);\;\;\; В) - 2).\] Для проверки ответа просто внимательно посмотрим на графики. В формулах 4) и 2) перед дробью стоит знак минус – графики Б) и В), действительно, расположены во второй и четвёртой четвертях. На графике Б) гипербола заходит в угол глубже, чем на графике В). Сравним коэффициенты без учёта знака: в формуле 4) \(|k| = \dfrac{1}{2},\) в формуле 2) \(|k| = 2.\) \(\dfrac{1}{2}\), действительно, меньше 2. Для графиков Б) и В) формулы подобраны правильно.
График А) такой же плавный, как график В), но расположен в первой и третьей четверти. Значит его формула от формулы, которую мы выбрали для графика В), должна отличаться только знаком числового коэффициента. Действительно, формулы 2) и 3) отличаются только знаком перед дробью.
Таким образом, проверка по коэффициентам показала, что ответ правильный.

Ответ:

АБВ
342

Задача 9. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

графики к заданию ОГЭ

ФОРМУЛЫ

\[1)\; y = \frac{12}{x}\;\;\; 2)\; y = -\frac{12}{x}\;\;\; 3)\; y = \frac{1}{12x}\] В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение.

Пример задания, для которого решение буквально по единичке будет не самым лучшим, потому что в этом масштабе \(y(1)\) плохо виден на всех графиках. Можно использовать в переносном смысле метод "по единичке", т.е. рассмотреть подстановку другого числа в формулы и на графики. Здесь подойдёт \(x=3\).

Но мы рассмотрим другой способ, т.к. это задание очень легко "решается взглядом".
Глубже всех заходит в угол кривая на графике А), и меньше всех (без учёта знака) числовой коэффициент в формуле 3) \(k = \frac{1}{12}\). Вывод: А) - 3).
Оставшиеся две формулы отличаются знаком перед дробью. Той, которая с плюсом, соответствует гипербола, расположенная в 1-ой и 3-ей координатных четвертях, т.е. 1) - В). А той, которая с минусом соответствует гипербола, расположенная во 2-ой и 4-ой координатных четвертях, т.е. 2) - Б).

Ответ:

АБВ
321

Показать ответ