Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.
К концу учебного года в 9-ом классе вы успели изучить следующие функции:
\(y = kx+b\) - линейная функция. Графиком является прямая линия. Коэффициент \(k\) задаёт тангенс угла наклона к оси \(Ox\). Если \(k>0\), прямая наклонена под острым углом к оси, если \(k<0\) – под тупым углом. При \(k=0\) формула приобретает вид \(y = b\), а график становится параллельным оси абсцисс (оси \(Ox\)). Коэффициент \(b\) "отвечает" за точку пересечения прямой с осью ординат (ось \(Oy\)).
\(y = \dfrac{k}{x}\) График этой функции называется гиперболой. Его легко "узнать в лицо", потому что на данный момент это единственная хорошо изученная функция с разрывом. Так как на 0 делить нельзя, то график не может пройти через эту точку, иными словами, пересечь ось \(Oy\), поэтому состоит из двух отдельных ветвей. Коэффициент \(k\) показывает насколько далеко отстоят вершины ветвей гиперболы от начала координат, а знак коэффициента (знак перед дробью) показывает в каких четвертях расположены ветви гиперболы. Если \(k>0\), то в первой и третьей, если \(k<0\), то во второй и четвёртой четвертях.
\(y = ax^2+bx+c\) - квадратичная функция. Графиком функции является парабола. Коэффициент \(a\) задаёт направление. Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх, если \(a<0\) – вниз. При \(a=0\) парабола вырождается в прямую линию. Это уже не квадратичная функция. Коэффициент \(с\) показывает точку пересечения параболы с осью ординат \(Oy\). Коэффициент \(b\) сам по себе ни о чём не говорит, но в совокупности с коэффициентом \(a\) указывает на положение вершины параболы. \(x_в = \dfrac{-b}{2a},\) поэтому, если знаки коэффициентов \(a\) и \(b\) совпадают, то вершина параболы смещена влево относительно оси ординат, если не совпадают, то вправо.
\(y = \sqrt{ax+b}\) По внешнему виду этот график похож на повёрнутую на 90 градусов половинку параболы. Это, действительно, она и есть, потому что квадратный корень является обратной функцией для квадратичной функции. Влияние коэффициентов \(a\) и \(b\) на положение графика заметно, прежде всего, по его сдвигу вдоль оси \(Ox\). График должен быть расположен так, чтобы его область определения совпадала с ОДЗ выражения, т.е. \(ax+b \ge 0.\)
Ещё подробнее повторить графики функций вы сможете, если перейдёте к сводной таблице и воспользуетесь помещенными там ссылками на другие статьи сайта и видео на youtube-канале Mathematichka.
Задания на соответствие графика и формулы функции. Задания на соответствие графика и формулы функции легче и быстрее решаются с использованием свойств изученных функций, о которых было написано выше. Если график функции в задании изображен на клеточках, и указан масштаб координатных осей, то возможен второй способ решения, который я условно называю "по единичке". Способ заключается в том, что \(x = 1\) подставляем в приведенные формулы, вычисляем соответствующие значения \(y\). Затем на графиках находим точки с абсциссой \(x = 1\) и отмечаем их ординаты. Сравниваем отметки на графиках с вычислениями по формулам и делаем выводы. К сожалению, этот способ работает не всегда. В части задач отсутствуют клеточки, в некоторых масштаб таков, что на графике не видна точка с ординатой \(y(1)\), она расположена или слишком высоко для рисунка или слишком низко. Нередко бывает так, что значения \(y(1)\), вычисленные по разным формулам, совпадают. Приходится брать одно или несколько других значений \(x\), что затрудняет вычислительную часть и увеличивает временные затраты на это задание. Поэтому способ "по единичке" я рекомендую для проверки ответа или выбора из двух сомнительных вариантов.
Задачи, в которых приведены графики функций разных типов, я считаю самыми лёгкими в этом задании. Давайте рассмотрим несколько примеров, и вы в этом убедитесь.
Задача 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
\[1)\; y = -\frac{4}{x}\;\;\; 2)\; y = -\frac{2}{x}\;\;\; 3)\; y=-2x\;\;\; 4)\;y = -x^2-4x-5.\]Решение.
На рисунке всего один график прямая линия. Ищем среди формул ту, которая содержит \(x\) только в первой степени. Смотрим, чтобы в этой формуле не было квадрата и переменной в знаменателе. Такая формула только одна, это формула \(3)\; y=-2x\). Делаем вывод: графику Б) соответствует формула 3).
Среди формул только одна содержит \(x^2\) (формула 4), и только один график непрерывная кривая линия симметричная относительно вертикальной прямой, проведенной через её вершину. Это парабола – график В). Вывод: графику В) соответствует формула 4).
Остался один график с разрывом. Две отдельных ветви содержит график А) – гипербола. Но у нас две формулы с \(x\) в знаменателе. Придётся выбирать.
На графике А) ветви гиперболы расположены во второй и четвёртой координатных четвертях, где знаки координат \(x и y\) не совпадают, поэтому перед дробью в формуле гиперболы должен быть знак минус. Но оказалось, что этой приметы недостаточно, так как минус есть в обеих формулах.
Смотреть насколько близка вершина к центру координат здесь бесполезно, потому что не с чем сравнить. Остаётся только проверить по какой-нибудь точке. Легче всего по единичке.
Пусть \(x = 1\), тогда по формуле 1) получим \(y = -\dfrac{4}{1} = -4\), а по формуле 2) получим \(y = -\dfrac{2}{1} = -2\). Проводим на рисунке вертикальную линию \(x = 1\) до пересечения с графиком и смотрим значение \(y\). Получилось \(y = -4\), значит верна первая формула. Вывод: графику А) соответствует формула 1).
Ответ:
| А | Б | В |
| 1 | 3 | 4 |
Ответы и решения некоторых задач временно скрыты. Это задачи для самостоятельного решения. Чтобы посмотреть ответы, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.
Задача 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
\[А)\; y = \frac{3}{x}\;\; Б)\; y = x^2-4x+5\;\; В)\; y = \frac{3x}{2}\;\]ГРАФИКИ
Решение.
На графике 1) линия с разрывом, следовательно в формуле есть \(x\) в знаменателе. Вывод: графику 1) соответствует формула А).
На графике 2) изображена прямая линия. Осталась только одна формула, где \(x\) в первой степени умножен на число \(\dfrac{3x}{2} = \dfrac{3}{2}\cdot x\). Вывод: графику 2) соответствует формула В).
Два оставшихся графика нелинейны, т.е. кривые линии. Формула Б) представляет собой квадратный трёхчлен. Следовательно, график должен быть параболой. Мы знаем, что парабола симметрична относительно линии, проходящей через вершину. График 3) обладает этим свойством, а на графике 4) такую линию провести невозможно. Вывод: формула Б) соответствует графику 3).
Замечение. Проверку ответа можно сделать "по единичке", т.е. задать какое-либо значение \(x\), подставить его в формулы, вычислить значения \(y\) и найти соответствующие точки на графике. Но решить задание в буквальном смысле по единичке, т.е. подставить \(x = 1\) в формулу Б), а затем найти на графиках 3) и 4) ординаты точек с абсциссой 1, не получится. Потому что во всех случаях будет \(y = 2\). Выбор не состоится.
Ответ:
| А | Б | В |
| 1 | 3 | 2 |
Показать ответ
Задача 3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
\[1)\; y = \frac{1}{2}x\;\;\; 2)\; y = 2-x^2\;\;\; 3)\; y = \sqrt{x}\]Решение.
Координатные плоскости здесь представлены без клеточек. Проверить принадлежность точек не получится, выбираем только по внешнему виду графиков.
Прямая линия олна – А). Её формула 1) содержит просто \(x\).Симметричная кривая на графике В) – парабола. Формула 2) содержит \(x^2\).
На среднем графике кривая линия похожа на перевёрнутую половинку параболы. Это график функции 3) квадратный корень.
Ответ:
| А | Б | В |
| 1 | 3 | 2 |
Показать ответ
Линейная функция. Прямая линия.
Задачи становятся сложнее, когда приходится выбирать из функций одного класса и, соответственно, из однотипных формул. Рассмотрим примеры для линейной функции.Задача 4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ФОРМУЛЫ
\[1)\; y = 2x\;\;\; 2)\; y = x+2\;\;\; 3)\; y = 2\]Решение.
Все графики – прямые линии и все формулы имеют вид \(y = kx + b\). Выбираем по наклону к оси \(Ox\) и точке пересечения с осью \(Oy\).
На графике В) прямая никак не наклонена к оси \(Ox\), она ей параллельна. Следовательно, угол наклона равен 0, тангенс угла наклона равен 0, угловой коэффициент \(k=0\), и \(y = kx + b = 0\cdot x + b = 0 + b = b.\) Таким образом, формула, которая задаёт прямую, параллельную оси абсцисс, не должна содержать \(x\). Здесь такая формула под номером 3.
В двух оставшихся графиках наклон на глаз кажется примерно одинаковым. Поэтому начнём с точки пересечения с с осью \(Oy\). Вспомним, что для точек, расположенных на этой оси, \(x=0\), поэтому \(y = kx + b = k\cdot0 + b = 0 + b = b.\) Таким образом, высота точки пересечения графика с этой осью показывает значение коэффициента \(b\) в формуле функции. На первом графике пересечение при \(y=2\), подходит формула \(2)\; y = x+2.\) На втором – при \(y=0\), подходит формула \(1)\; y = 2x,\) так как \(2x = 2x+0.\)
Сделаем проверку по единичке для графиков А) и Б).
При \(x=1\) по формуле 2) получим \(y = 1 + 2 = 3\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;3) должна лежать на графике А).
При \(x=1\) по формуле 1) получим \(y = 2\cdot1 =2\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;2) должна лежать на графике Б).
Отметим эти точки на указанных графиках. Точки "не промахнулись", значит задача решена верно.
Ответ:
| А | Б | В |
| 2 | 1 | 3 |
Итак, все графики, которые задаются формулой \(y = b\), т.е. формулой, содержащей \(y\) и число, но не содержащей \(x\), представляют собой прямые линии, параллельные оси \(Ox\). Все графики, которые задаются формулой \(y = kx\), т.е. формулой, содержащей \(x\) в виде одночлена первой степени, представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат. Эти выводы нужно запомнить на будущее не только, чтобы быстрее решать это задание ОГЭ, но и для задания на графики во второй части экзаменационного варианта.
Задача 5. Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
\[А)\; y = -2x+6\;\;\; Б)\; y = 2x-6\;\;\; В)\; y = 2x+6\]ГРАФИКИ
Решение.
Прямые на графиках 1) и 2) имеют одинаковый наклон. Одинаковый угловой коэффициент \(k = 2\) мы видим в формулах Б) и В). Методом исключения делаем вывод, что для графика 3) остаётся формула А).
Теперь, чтобы установить соответствие между графиками 1) и 2) и формулами Б) и В) смотрим на точку пересечения с осью \(Oy\). На первом графике она находится ниже оси абсцисс, что говорит о том, что в формуле коэффициент \(b\) имеет отрицательное значение. Смотрим: \(b = -6\) в формуле Б). Вывод: формула Б) соответствует графику 1), тогда формула В) соответствует графику 2).
Проверка по единичке: \[А)\; y = -2\cdot1+6 = 4\;\;\; Б)\; y = 2\cdot1-6 = -4\;\;\; В)\; y = 2\cdot1+6 = 8\]
Как и предполагалось, \(y = 4\) на графике 3), \(y = -4\) на графике 1) \(y = 8\) на графике 2).
Ответ:
| А | Б | В |
| 3 | 1 | 2 |
Показать ответ
Задача 6. На рисунке изображены графики функций вида \(y = kx+b.\) Установите соответствие между графиками линейных функций и угловыми коэффициентами прямых.
ГРАФИКИ
УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
\[1)\; -1\;\;\; 2)\; -1,25\;\;\; 3)\; 3\;\;\; 4)\;0,8\] В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.| А | Б | В | Г |
Решение.
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси \(Ox.\) На данный момент мы знаем, что тангенс определён в прямоугольном треугольнике, как отношение противолежащего катета к прилежащему. Поэтому, прежде всего, надо начертить прямоугольные треугольники такие, что их гипотенузы лежат на заданных прямых, а катеты проходят по клеточкам. Вершины этих треугольников обязательно должны находиться в узлах клеточек, иначе будет трудно определить длины катетов. Размер треугольника может быть произвольным, "приклеить" его к прямой можно в любом удобном месте.
Угол наклона прямой по определению отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси \(Ox\)), поэтому в наших треугольниках противолежащий катет всегда параллелен оси \(Oy\) (считаем клеточки по вертикали), а прилежащий – оси \(Ox\) (считаем клеточки по горизонтали).
Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол, то угловой коэффициент будет со знаком минус. Поскольку линии клеток параллельны, то можно смотреть угол между прямой и правой частью горизонтальных линий сетки, как показано на рисунке.
Итак, вычисляем угловые коэффициенты по чертежу
\[А)\; k = \frac{4}{5} = 0,8; \;\;\; Б)\; k = -\frac{5}{4} = -1,25; \;\;\; В)\; k = \frac{3}{1} = 3; \;\;\; Г)\; k = -\frac{2}{2} = -1 \] и сравниваем с предложенными значениями. \[1)\;-1\;\;\; 2)\;-1,25\;\;\; 3)\; 3 \;\;\; 4)\;0,8.\]Ответ:
| А | Б | В | Г |
| 4 | 2 | 3 | 1 |
На эту тему также можно посмотреть видеоуроки на странице Линейная функция или на youtube-канале Mathematichka.
Cсылки на видео- График функции \(y = kx + b\)
- Задание ОГЭ на соответствие графика и формулы. Линейная функция