Задача ЕГЭ 2018 - производная функции.



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)
  1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
  2. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
  3. Задачи на геометрический смысл производной.
  4. Задачи на физический смысл производной.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 7 для профильного уровня.

Посмотрите внимательно на эти три графика функций.
Заметили ли вы, что эти функции в некотором смысле "родственники"?
Например, на тех участках, где график зеленой функции расположен выше нуля, красная функция возрастает. На тех участках, где график зеленой функции ниже нуля, красная функция убывает.
Аналогичные замечания можно сделать относительно красного и синего графиков.
Также можно заметить, что нули зеленой функции (точки x = -1 и x = 3) совпадают с точками экстремумов красного графика: при x = -1 на красном графике мы видим локальный максимум, при х = 3 на красном графике локальный минимум.
Нетрудно заметить, что локальные максимумы и минимумы синего графика достигаются в тех же точках, где красный график проходит через значение y = 0.
Можно сделать еще несколько выводов об особенностях поведения этих графиков, потому что они действительно связаны между собой. Посмотрите на формулы функций, расположенные под каждым из графиков, и путем вычислений убедитесь, что каждая предыдущая является производной для последующей и, соответственно, каждая следующая является одной из превообразных предыдущей функции.

φ1(x) = φ'2(x)    φ2(x) = Φ1(x)   
φ2(x) = φ'3(x)    φ3(x) = Φ2(x)   

Вспомним, что мы знаем о производной:

Производная функции y = f(x) в точке х выражает скорость изменения функции в точке x.

Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).

Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.

А теперь пусть красного графика на рисунке нет. Допустим, что и формулы функций нам неизвестны.
Могу ли я спросить вас о чем то, связанном с поведением функции φ2(x), если известно, что она является производной функции φ3(x) и первообразной функции φ1(x)?
Могу. И на многие вопросы можно дать точный ответ, ведь мы знаем, что производная является характеристикой скорости изменения функции, поэтому можем судить о некоторых особенностях поведения одной из этих функций, глядя на график другой.

Прежде, чем отвечать на следующие вопросы, прокрутите страницу вверх так, чтобы скрылся верхний рисунок, содержащий красный график. Когда ответы будут даны, верните его обратно, чтобы проверить результат. И только после этого смотрите моё решение.

Итак:
1) Пользуясь графиком производной φ'2(x) (в нашем случае это зеленый график), определите какое из 2-ух значений функции больше φ2(-3) или φ2(-2)?
2) Пользуясь графиком первообразной Φ2(x) (в нашем случае это синий график), определите какое из 2-ух значений функции больше φ2(-1) или φ2(4)?

Подобных вопросов по отсутствующему графику можно задать много, что обуславливает большое разноообразие задач с кратким ответом, построенных по такой же схеме. Попробуйте решить некоторые из них.

Задачи на определение характеристик производной по графику функции.


Рисунок 1.

Рисунок 2.

Задача 1

На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задача 2

На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции f '(x) отрицательна.

Для решения следующих задач нужно вспомнить еще одно определение.

Точки максимума и минимума функции объединяются общим названием - точки экстремума.
В этих точках производная функции либо равна нулю, либо не существует (необходимое условие экстремума).
Однако необходимое условие - это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с "+" на "−", то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с "−" на "+" , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.

Задача 3

На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Задача 4

На рисунке 2 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке [2;10].

Задача 5

На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Найдите количество точек, в которых производная функции f '(x) равна 0.

Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.


Рисунок 1.

Рисунок 2.

Задача 6

На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). В какой точке отрезка [-6;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.

Задача 7

На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). В какой точке отрезка [3;5] функция принимает наименьшее значение.

Задача 8

На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-5;10].

Задача 9

На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x) , определенной на интервале (-11;23). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [0;20].

Задача 10

На рисунке 1 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Задача 11

На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Как видите, по одному и тому же графику можно задать самые разнообразные вопросы о поведении функции и её производной. Также один тот же вопрос можно отнести к графикам разных функций. Будьте внимательны при решении этой задачи на экзамене, и она покажется Вам очень легкой. Другие виды задач этого задания - на геометрический смысл первообразной - будут рассмотрены в другом разделе.


Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.
 

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.