Этот раздел содержит геометрические задачи ЕГЭ по математике на следующие темы:
- Задачи на формулы площади.
- Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
- Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номерами 5, 10, 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня.
Задачи на формулы площади.
Среди этих задач есть как прямые, так и обратные. Прямыми мы здесь называем задачи, в которых по данным элементам фигуры нужно найти её площадь. Обратными - в которых площадь известна и, наоборот, нужно найти какой-либо из элементов фигуры. Простейшие примеры таких задач:Задача 1
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8.Решение
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S = ab/2 = 5×8/2 = 20.Ответ: 20
Замечание: Это самый простой вариант задачи, когда ответ сразу получается по формуле площади для заданной фигуры.
Задача 2
Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.Решение
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S = ab/2. Подставим в эту формулу известные величины: площадь S = 16 и один из катетов, пусть это будет а = 4. Получим 16 = 4b/2 или 4b/2 = 16, b = 8.Ответ: 8
Задача 3
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.Решение
Способ I.Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d2/2. Следовательно S = 12/2 = 0,5.
Способ II.
Обозначим сторону квадрата символом а. Тогда его площадь S = a2, a диагональ d = a·√2_. (Это либо помним наизусть, как формулу из учебника, либо находим по теореме Пифагора: d2 = a2 + a2.)
Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью алгебраических преобразований: d = 1 (по условию), следовательно 1 = a·√2_. Отсюда a = 1/√2_ и S = (1/√2_)2 = 1/2 = 0,5.
Ответ: 0,5
Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть здесь.
Задача 4
Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.Решение
Способ I.Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d2/2. Подставим в эту формулу известную величину площади (S = 2), тогда 2 = d2/2 или d2/2 = 2, d2 = 4, d = 2.
Способ II.
Обозначим сторону квадрата символом а. Тогда его площадь S = a2, a диагональ d = a·√2_.
Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью алгебраических преобразований: S = 2 (по условию), следовательно 2 = a2. Отсюда a = √2_ и d = √2_·√2_ = 2.
Ответ: 2
Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть здесь.
Решая эти пары задач, вы могли заметить, что разница между ними только в порядке использования формул при алгебраических преобразованиях. (Мы, обычно, используем формулы, двигаясь от известного к неизвестному.) Дополнительных знаний геометрии здесь не требуется. Поэтому не бойтесь обратных задач так же, как и любых других с неожиданной формулировкой условия. Если вам знаком сам геометрический объект и его элементы: квадрат, диагональ..., то с заданием вы справитесь.
Только необходимо убедиться, что среди понятий, перечисленных ниже, действительно нет незнакомых:
четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция...
треугольники: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний...
отрезки: сторона, высота, основание, диагональ, катеты, гипотенуза, средняя линия, диаметр, радиус, хорда...
характеристики: подобные фигуры, периметр, градус, радиан...
Чтобы сделать такую проверку быстро, пройдите мои тесты по планиметрии.
Если вдруг найдутся доселе неизвестные вам понятия - срочно открывайте учебник геометрии, а еще лучше справочник по математике с алфавитным указателем.
А затем ещё раз проверьте себя:
Окружность и круг одно и то же или нет?
Что больше площадь кругового сектора или площадь кругового сегмента,
если длины их дуг равны?
Задача 5
Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.Решение
Известны стороны прямоугольника, значит легко найти его площадь: Sпр = 4×9 = 36.Площадь квадрата Sкв = a2, где а - его сторона. По условию Sкв = Sпр = 36. Следовательно 36 = a2 или a2 = 36, a = 6.
Ответ: 6
Задача 6
Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.Решение
Обозначим стороны прямоугольника символами a и b. Тогда его площадь S = ab, периметр P = a + b + a + b = 18, отношение сторон a : b = 1 : 2 или a/b = 1/2. Из двух последних равенств найдем a и b. (Например, можно записать и решить их как систему уравнений.)a/b = 1/2, значит b = 2a. Тогда P = 2a + 2b = 2a + 4a = 6a = 18, a = 3, b = 6. Площадь S = 3×6 = 18.
Ответ: 18
Задачи на площадь прямоугольника относятся к самым простым, но всё-таки иногда их трудно решить без чертежа. При наличии в Вашем браузере плагина для Flash решения следующих 2-ух задач можно посмотреть с привлечением интерактивных анимаций. Для этого перейдите на страницу Задание по планиметрии — прямоугольник. Дождитесь загрузки и пользуйтесь внутренней кнопкой для пошагового просмотра. Не забудьте вернуться и продолжить решение задач с другими фигурами.
Задача 7
Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.1) Вводим обозначения: a и b - длины сторон, d - диагональ, P - периметр, S - площадь.
2) Записываем данные и искомые величины в этих обозначениях:
- по определению периметра: P = a + b + a + b = 2a + 2b = 28;
- по теореме Пифагора выражаем диагональ прямоугольника через его стороны:
d 2 = a2 + b2, т.е. a2 + b2 = 102 = 100;
- по формуле площади S = a·b = ?
3) Получаем систему уравнений относительно a и b:
4) Решаем систему:
Так как нам не требуется находить отдельно каждую сторону прямоугольника, а нужна его площадь, то получив численное значение для произведения сторон a·b, можем остановиться.
Ответ: 48
Задача 8
Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4 : 5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника.2) Выразим диагональ через длину стороны:
a : d = 4 : 5; 5a = 4d; d = (5/4)a. (Использовали свойства пропорций.)
3) По теореме Пифагора для диагонали прямоугольника:
a2 + b2 = d2;
a2 + b2 = (5/4)2a2.
Из этого уравнения найдём неизвестную сторону a (через данную сторону b).
b2 = (5/4)2a2 − a2 = (25/16 − 1)a2 = (9/16)a2 .
Таким образом, b = (3/4)a, следовательно a = (4/3)b = (4/3)·6 = 8.
По формуле площади прямоугольника S = ab = 6·8 = 48.
Ответ: 48
Задача 9
Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.Решение
Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d2/2. Тогда S1 = d12/2 = 100/2 = 50 и S2 = d22/2 = 36/2 = 18. Разность площадей S1 − S2 = 50 − 18 = 32, следовательно S3 = d32/2 = 32 и d32 = 64, d3 = 8.Ответ: 8
Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть здесь.
Задача 10
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.Решение
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженной на синус угла между ними. S = (bc/2)·sinα = (8×12/2)·sin30° = 48·sin30°.sin30° = 1/2, таким образом S = 48×(1/2) = 24.
Ответ: 24
Замечание: Эта задача тоже из простейших - на применение формулы из учебника.
Задача 11
Площадь остроугольного треугольника равна 36. Две его стороны равны 6 и 24. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.Решение
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженной на синус угла между ними. S = (bc/2)·sinα. Подставим в формулу известные величины: 36 = (6×24/2)·sinα.Получим 36 = 72sinα или 72sinα = 36, sinα = 1/2, α = 30°.
Ответ: 30
Замечание: Угол по значению его синуса можно находить по таблицам, по графику, по кругу... Но предполагается, что значения таких простых углов вы так часто использовали на уроке, что уже запомнили наизусть. И обратите внимание, в условии сказано, что треугольник остроугольный. Это подсказка - угол находится в первой четверти.
Тема "решение задач на формулы площади плоских фигур" неисчерпаема. Вы должны знать несколько формул для площади треугольника, формулы площадей четырехугольников (параллелограмма, трапеции, ромба), круга и кругового сектора, правильного многоугольника. Прототипов таких задач в банке заданий, пожалуй, больше, чем в других группах. К сожалению, нереально поместить все в пределах одной страницы сайта. Постараюсь дополнять по мере занятий с учениками. Следите за обновлениями.
Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
Эта группа задач следующего типа: дано изображение геометрической фигуры на клетчатой бумаге, требуется найти площадь этой фигуры. В связи с тем, что в этом разделе предполагается много рисунков, то большинство задач вынесено на flash-страницу сайта. Ссылка расположена ниже.
Сейчас мы обсудим главное - эту задачу может решить любой школьник, независимо от того, насколько хорошо он усвоил курс геометрии. Навыки, необходимые для решения этой задачи, вы начали приобретать еще в детском саду, когда впервые взяли в руки ножницы и бумагу. Вопрос только в том, насколько эффективно вы сможете распорядиться своим экзаменационным временем. Для доказательства этого положения, я беру одну и ту же задачу и решу её несколько раз.
Задача 12
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотрите на рисунок, там указан масштаб. Видно, что размер одной клетки равен 1 см (это же сказано и в условии), соответственно, площадь одной клетки равна 1 см2. Поэтому требование дать ответ в квадратных сантиметрах равносильно требованию дать ответ в клеточках.
Первое решение рассмотрим в предположении, что вы хорошо знаете формулы и определения. Чтобы мне было легче объяснять его, я обозначу буквами A, B, C, D вершины заданного четырёхугольника. Итак:
Решение I.
ABCD - трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны
ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции
равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её - h).
Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h?
Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть - это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно h = 4. Подставляем значения в формулу:
S = h·(BC + AD)/2 = 4·(2 + 4)/2 = 12.
Ответ: 12
Второе решение относится к случаю, когда вы уверенно помните только самые простые формулы площади: площадь прямоугольника S = a·, где a и стороны, и площадь прямоугольного треугольника S = a·/2, где a и катеты. Суть метода заключается в том, что нам нужно разбить заданную фигуру на эти простые части по линиям сетки.
Решение II.
Проводим дополнительную линию AC, которая "разрезает" нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами
AC = 4 и BC = 2, его площадь SПлощадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC.
S = S
Ответ: 12
Третий способ требует тех же самых знаний, что и второй, только немножко иного взгляда на картинку. Теперь мы будем не "разрезать" нашу трапецию на части, а "вырезать" её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции.
Решение III.
Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения
с горизонтальными. Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь
6×4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC. S
Следовательно, площадь трапеции равна
S = 24 − 4 − 8 = 12.
Ответ: 12
И, наконец, последний, четвертый способ нужен на случай, когда вы вообще не знаете никаких формул, но обладаете хорошим воображением. Способ сродни решению головоломки - как разрезать плоскую фигуру на части, чтобы из этих частей, используя каждую из них одинаковое число раз, сложить прямоугольник? Затем, просто посчитать количество клеточек внутри прямоугольника, и разделить на число повторов деталей заданной фигуры. Смотрите, пример.
Решение IV.
Проводим дополнительную линию AC и "разрезаем" трапецию на две части, как в решении вторым способом. Проводим дополнительные линии и строим вершины E и F, как в решении третьим способом. Убеждаемся в том, что получившиеся зеленые и желтые треугольники попарно равны (подсчетом клеточек на соответствующих сторонах). Значит, для построения прямоугольника детали заданной фигуры использованы 2 раза, один комплект желтый, второй - зеленый. Считаем общее количество клеточек в закрашенном прямоугольнике. Получается 24. Делим на 2. 24/2 = 12.
Ответ: 12
Перейти к решению таких задач. 
Комментарии к выбору способа решения.
1) Из-за разнообразия фигур, которые могут встретится в задании, нельзя рекомендовать однозначно лучший.
2) Большинство задач можно решить любым из этих способов. Выберите наиболее понравившийся лично вам, и потренируйте его на разных задачах.
3) Первый способ, опирающийся на знание формул, бывает необходим, когда в задании присутствует круг или его часть. Круг нельзя разрезать на прямоугольники, и треугольники. Нужно на чертеже найти центр круга и линию сетки, которая касается окружности, определить
по клеточкам радиус и подставить в формулу.
4) Второй и третий способ нужны, если многоугольник, площадь которого требуется вычислить, не стандартный: не трапеция, не ромб, не параллелограмм ..., т.е. если таких формул вы не учили. При этом второй способ лучше, когда у многоугольника есть стороны, лежащие на линиях сетки, а третий - когда нет.
5) Четвертый способ хорош тем, что начав его тренировать, вы быстро научитесь находить ответ раньше, чем дойдете до пересчета клеточек в прямоугольнике. (Предложение делать это - почти шутка.) Этот способ решения фактически комбинация второго и третьего.
6) И главное, что касается всех способов, следите за тем, чтобы вершины всех ваших фигур и их частей находились в узлах сетки.
Комментарии к задаче.
Текстовая часть постановки задач на эту тему практически не изменялась с момента её появления в банке заданий ЕГЭ. Она почти всегда такова: "Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в см2." От варианта к варианту могут изменяться вид фигуры, единица измерения длины, например, сантиметр на метр, вводные слова, например, в демоверсии базового уровня есть обоснование практической значимости "План местности разбит на клетки ... Найдите площадь участка, изображенного на плане ..."
Но давайте сравним чертежи, которыми сопровождаются эти задачи.
С одной стороны, явно прослеживалась тенденция к усложнению задания для профильного уровня и упрощению для базового, с другой стороны, эти различия были очень незначительны с точки зрения необходимых математических навыков. Если посмотреть эту задачу в Демонстрационном варианте базового уровня 2022 года, то по сравнению с предыдущими годами для обоих уровней более востребованным станет способ решения, опирающийся на знание формул площадей геометрических фигур. Но никто и ничто не мешает Вам аккуратно продолжить линии сетки за пределы заштрихованной фигуры и получить основу для выбора предпочтительного способа решения. Разница только во времени, которое будет затрачено на выполнение этого задания.
В любом случае помните - ЕГЭ по математике не проверяет ваш глазомер! Поэтому ни для каких расчётов не используйте отрезков, начало или конец которых не связаны с узлами сетки.
Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
Чем отличаются задачи этого типа от предыдущих? Почти ни чем. Координатная плоскость - та же самая сетка. Только линии этой сетки пронумеровали, а затем стерли, а на фигуре написали на каких линиях были расположены её вершины. Когда? Еще в 17-ом веке. Зачем? Чтобы как-то, хотя бы условно, изображать большие и несоразмерные фигуры, которые не помещаются на рисунке в нормальном масштабе.
Из этих соображений, следуют два способа решения задач:
Первый, самый надежный, - выучить понятия и формулы из раздела "Декартовы
координаты на плоскости и в пространстве".
Второй, самый простой для тех, кто разобрался с предыдущей задачей, -
восстановить сетку.
Решение вторым способом более очевидное. Теоретически так можно решать любую задачу на координатную плоскость, но это может оказаться значительно медленнее, чем первым способом, и потребовать "немеряного количества" бумаги. (Иначе не надо было бы изобретать координаты.) Поэтому здесь мы рассмотрим те задачи, для которых решение восстановлением сетки достаточно быстрое и компактное, а затем еще раз вернемся к понятию координатной плоскости в следующем разделе.
Задача 13
Найдите площадь четырёхугольника,
вершины которого имеют
координаты (3, 2), (7, 6), (7, 8), (3, 6).
Решение.
Оси координат - это линии сетки, с которых начинается нумерация. Ось Ox - нулевая горизонтальная линия, ось Oy - нулевая вертикальная линия. Запись "координаты (3, 2)" означает, что точка находится на 3-ей вертикальной линии сетки и на второй горизонтальной, аналогично "координаты (7, 6)" - на 7-ой вертикальной и 6-ой горизонтальной, и т. д. Рисуем нужное количество линий на заданном чертеже. Результат на рисунке слева. Видно, что этот рисунок очень похож на рисунок к условию предыдущей задачи. А, если не обращать внимания на оси, то абсолютно тот же (это потому, что для примера я специально выбрала задачу с той же самой трапецией). Значит решать можно любым из представленных выше четырёх способов. Например, разбиваем трапецию на два прямоугольных треугольника и вычисляем:
S
S = S
Ответ: 12
Следующую задачу постарайтесь сначала решить самостоятельно, а затем проверьте своё решение.
Задача 14
Найдите площадь четырехугольника,
вершины которого имеют
координаты (4, 2), (8, 4), (6, 8), (2, 6).
Решение
На рисунке в условии задачи пунктиром показаны отрезки линий сетки, которые проходят через вершины четырёхугольника (здесь это 2-я, 4-я, 6-я и 8-я линии как по вертикали, так и по горизонтали). Дорисовываем весь участок сетки в окрестности заданной фигуры. Решаем задачу так, как если бы она была задана на клеточках, без координатных осей. У нашего четырёхугольника нет сторон, лежащих на линиях сетки, поэтому выберем третий метод из предыдущего раздела - метод "вырезания".
Строим внешний прямоугольник, стороны которого проходят по сетке через вершины заданного. Прямым подсчетом клеточек убеждаемся в том, что красная линия на чертеже ограничивает квадрат со стороной 6 единиц, значит его площадь равна Sкв = 36 ед.2, а четыре зеленых прямоугольных треугольника равны между собой и имеют катеты 2 ед. и 4 ед., площадь каждого из них равна 2×4/2 = 4.
Следовательно, искомая площадь желтого четырехугольника равна
S = 36 − 4×4 = 20.
Ответ: 20
Замечания:
1) По рисунку видно, и равенством зеленых треугольников подтверждается, что заданный четырёхугольник тоже квадрат. Но нам здесь это даже не потребовалось.
2) В качестве упражнения на развитие воображения попробуйте найти эту площадь вторым методом из предыдущего раздела - методом разрезания желтого квадрата по линиям сетки на простые части.
Перейти к решению других задач на эту тему.
Продолжение:
Задачи на понятие координатной плоскости.
Задачи на вектора.
Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.