логотип Математички: Е в степени Пи

Неопределенный интеграл.

 

Чем первообразная отличается от неопределенного интеграла?

Первообразная - функция, производная которой известна (задана).


Он умеет брать интеграл! А ты?
Пусть заданная функция обозначена f(x), а её первообразная обозначена F(x), тогда по определению F'(x) = f(x).
Таким образом, является ли некоторая функция первообразной для заданной, проверяется дифференцированием.

Например, пусть задана функция y = x.

Её первообразной является функция y = x2__2.

Проверяем ( x2__2)' = 1_2·(x2)' = 1_2·2x = x.

Но также её первообразной может быть функция y = 0,5x2 + 9 или функция y = 0,5x2 − 14,287.

Проверяем (0,5x2 + 9)' = 0,5·2x + 0 = x.

Проверяем (0,5x2 − 14,287)' = 0,5·2x − 0 = x.

Получается, что у одной функции не одна первообразная, а много. Более того, их бесконечное множество. И отличаются они друг от друга только на постоянную величину, которая "исчезает" при дифференцировании.

Неопределенный интеграл - множество всех первообразных одной и той же заданной функции.

Так как при вычислении производной можно "потерять" только слагаемое, представляющее собой число (постоянную величину), то неопределённый интеграл может быть записан как сумма одной из первообразных и произвольной постоянной. Произвольная постоянная обычно обозначается латинской буквой С от слова constant - константа.

Пусть F(x) первообразная для f(x), т.е. F'(x) = f(x).
Проверим F(x) + C.

(F(x) + C )' = F'(x) + C' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x).

Та же производная, значит F(x) + C - неопределенный интеграл.

Чаще всего, такая запись действительно явно задает весь неопределенный интеграл (всё множество первообразных), например, для рассмотренной выше функции y = x, все первообразные будут иметь вид x2/2 + C, где вместо С можно подставить любое положительное или отрицательно число, или 0. Но бывают другие случаи.

Рассмотрим примеры


1) Пусть  f(x) = −   1_____1 + x2.  

Посмотрим на таблицу производных. Заданная функция это производная функции arcсtgx или производная функции arctgx, умноженной на минус один? Как правильно, так

( −arctgx + C )' = ( −arctgx )' + C' = −(arctgx)' + 0 = −(   1_____1 + x2 ) = −   1_____1 + x2 ?

или так

(arcсtgx + C)' = (arcсtgx)' + C' = −   1_____1 + x2 + 0 = −   1_____1 + x2 ?

Судя по результату, правильными должны быть оба варианта.
Действительно, если мы вспомним определения этих функций из тригонометрии и планиметрии, то обнаружим, что речь идёт о двух острых углах одного и того же прямоугольного треугольника, сумма которых равна 90º или π/2 радиан.
arctgx + arcсtgx = π/2;
arcсtgx = −arctgx + π/2.
Т.е. эти две первообразные отличаются друг от друга на постоянное число, значит относятся к одному и тому же неопределенному интегралу.

2) Пусть f(x) = −2sin2x. Проверим двух "кандидатов" на первообразные: F1(x) = cos2x и F2(x) = −2sin2x.

F1'(x) = (cos2x)' = −sin2x·(2x)' = −2sin2x;
F2'(x) = (−2sin2x)' = −2·(sin2x)' = −2·2sinx·(sinx)' = −2·2sinxcosx = −2sin2x.
(Производные вычислены по правилу дифференцирования сложной функции. В последнем выражении использована тригонометрическая формула синуса двойного угла.)

Значит, неопределенный интеграл можно записать как cos2x + С или как −2sin2x + С ?

Судя по вычисленным производным, можно, и обе первообразные должны отличаться друг от друга на постоянную величину. Для проверки последнего утверждения используем тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла
cos2x = cos2x − sin2x = 1 − 2sin2x.
Действительно, они отличаются на единицу.


3) Пусть f(x) = (x + 2)2. Проверим две возможные первообразные: F1(x) = (x + 2)3______  3 и F2(x) = x3__ 3 + x2 + 4x.

F1'(x) = ((x + 2)3/3)' = 3(x + 2)2/3 = (x + 2)2;
F2'(x) = (x3/3 + x2 + 4x)' = 3x2/3 + 2x + 4 = x2 + 2x + 4 = (x + 2)2.
(В последнем выражении использована одна из формул сокращенного умножения.)

Вывод: обе первообразные относятся к одному и тому же неопределенному интегралу. На какую постоянную величину они отличаются? Попробуйте ответить на этот вопрос самостоятельно.

Итак, обозначение интеграла суммой одной из первообразных и произвольной константы неоднозначно, а потому неудобно. Не всегда можно по формуле одной из первообразных "узнать в лицо" другие. Поэтому введено более общее обозначение со значком интегрирования. Формула вида интеграл от f(x) по dx, где dx- дифференциал переменной интегрирования, задает неопределенный интеграл от функции f(x) по независимой переменной x.
Но вычисление неопределенного интеграла всё равно сводится к поиску одной из его первообразных.

интеграл от f(x) по dx.

Что нужно знать, чтобы научиться быстро вычислять неопределенные интегралы?

Есть жажда творчества,
Уменье созидать,
На камень камень класть,
Вести леса строений...

Николай Майоров.

Остальное - ваше творчество или, как сейчас чаще принято говорить, креатив. Поэтому я рекомендую проявлять как можно больше самостоятельности при решении заданий и контрольных этого раздела математического анализа. Так вы сможете развить в себе очень полезное качество - сочетать творческую составляющую мышления с "железной" логикой математики. Ведь у абсолютного большинства интегралов есть несколько способов решения, несколько, на первый взгляд, разных ответов и возможность дифференцированием убедиться в правильности своего ответа.

Как вычислять интегралы?

Существует три основных метода вычисления неопределенных интегралов, которые первокурсники проходят в вузах:
  1. Непосредственное интегрирование.
  2. Метод замены переменной.
  3. Метод интегрирования по частям.
Частью любого из них можно считать метод проб и ошибок, суть которого сводится к выбору из нескольких возможных вариантов самого подходящего для решения конкретной задачи. Например, поиск лучшей замены переменных из нескольких предполагаемых, удачного разбиения подынтегральной функции на части, короткого пути для алгебраических преобразований и т.п.
Вычислить ∫arcsinxdx.
Пример вычисления интеграла по частям.
int arcsinx dx
Пример вычисления интеграла методом замены переменной.
int arcsinx dx

При обнаружении ошибок или опечаток - сообщайте, пожалуйста, на e-mail.

   Перейти на главную страницу сайта.